2016年四川理工学院经济与管理学院813运筹学考研内部复习题及答案
● 摘要
一、证明题
1． 设G 为2*2对策，且不存在鞍点。证明若
。
【答案】可利用反证法求证。 假设条件不成立，可设
。
又
。
当
时，对
，存在鞍点，最优纯策略为
; 当a 12=a11=a21时
，，所以
和
是G 的解，
则
， 存在鞍点，最优纯策略为，这与G 不存在鞍点矛盾，故结论成立。
2． 己知九个人v 1，v 2，…，v 9中v 1和两个人握过手，v 2和v 3各和四个人握过手，v 4，v 5，v 6，v 7各和五个人握过手，v 8，v 9各和六个人握过手，证明这九个人一定可以找出三人互相握过手。 【答案】该问题可表述为一个包含9个点（每个人代表一个点）的图的问题。依题意知 d （v l ）=2，d （v 2）=d（v 3）=4，d （v 4）=d（v 5）=d（v 6）=d（v 7）=5，d （v 8）=d（v 9）=6 其中，边v i ，v j 〕代表v i 和v j 握过手。对于v 9，因为d （v 9）=6，所以v 4，v 5，v 6，v 7中至少有两个点与v 9之间 存在连线，设该两点为v 4和v 5。假设与v 4和与v 9相连的其他五点之间无边，
则
，与已知的 d （v 4）=5相矛盾，故假设不成立。即v 4与上述五点间必存在至少
两条边，设其中一点为v k ，则v k ，v 4，v 9两两相连，即存在三人之间互相握过手。 3． 证明下列定理: （1）设有两个矩阵对策，
，L 为任一常数，则有
（2）设有两个矩阵对策
，
，
（3）设则
，
（定理8） 为矩阵对策，且 ，其中
）和，则
了为斜对称矩阵（亦称这种对策为对称对策）。分别为局中人I 和
的最优策略集。（定理9）
，
，其中
，
。（定理7）
，其中a>0
为任一常数。则
【答案】（1）设A l 的赢得函数是则
，A 2的赢得函数是
则所以，同理，有
故
，
和瓦
，则
①
。
。
（3）
故即由式②可知
，因此
故
。
1
有最优解，B 为最优基，证明单纯形乘子CB 是对偶问题的最优
（2）设A l 和A 2对应的赢得函数分别为
。
4． 设线性规划问题解。
【答案】其对偶问题为
设是原问题的最优解，则其对应的基矩阵B 必存在
，由此得
，即可得，
这时Y 是对偶问题的可行解，它使由于原问题的最优解
，使目标函数取值
，即是对偶
问题的最优解，因此单纯形乘子，是对偶问题的最优解。
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