2017年中国石油大学(北京)理学院662量子力学考研仿真模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 粒子在一维势阱中运动，波函数为
则
【答案】
则
的跃变条件为_____
。若势阱改为势垒
的跃变条件为_____。
2． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。
【答案】
3． 玻恩关于波函数统计解释的基本论点是_____。
【答案】物质的本源是粒子；波动性是指微观粒子处于某一物理量值的统计几率
4． 在量子力学原理中. 体系的量子态用希尔伯特空间中的_____来描述. 而力学量用_____描述. 力学量算符必为_____算符，以保证其_____为实数.
；厄米；本征值 【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）
【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵. 力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实.
5． —粒子的波函数为【答案】
写出粒子位于间的几率的表达式_____。
6． （1）自由粒子被限制在x 和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理. 如果没有给出其他资料，则粒子在 x 和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067
（2）上题中，按照量子力学. 处于最低能态的粒子在x 和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050 【答案】（1）B 【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为
（2）A
【解析】取x 为原点，则有波函数为所求概率即
二、证明题
7． 粒子自旋处于
的本征态
【答案】易知但是
，（常数）
同理，可得
因此：
8． 设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，【答案】设束缚定态为
即有：
因A 不显含时间t , 所以
因而有：
所以有：
试证明
的不确定关系
：
三、计算题
9． 与电子一样，中子的自旋也是，并且具有磁矩旋角动量，如果中子在相互垂直的两个磁场可能值，对应的几率和平均 值分别是多少？ 【答案】该体系中：
和
其中是一个常数，是中子的自中运动，求该体系的能级和波函数，
当能级之间发生跃迁时，可能的跃迁频率有几个，大小是多少？在各本征态中，自旋第三分量的
在
表象中设归一化的本征函数为
则有（能量本征值为）：
久期方程为：从而可得：对应能量本征值.
的本征函数满足：
不妨设则此时满足的解为：
同理可得，
对应能量本征值的本征态为：
当发生能级跃迁时，可能的跃迁频率有两个，为（2）在
表像中，
的本征态为：
所以，在
态中：
的几率为：
的几率为：