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一、选择题

1． 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解空间分别为

线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）

的解，则（ ）。

则

所以

即证秩

2． 设向量组

【答案】（C ） 【解析】设

【答案】C 【解析】方法1:令

则有

由

线性无关知，

该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于

从而

线性无关，且

因为 3． 设

其中A 可逆，则A.

B.

C.

=（ ）.

所以向量组

线性无关.

线性无关.

D. 【答案】C

【解析】因为

4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】

5． 设A 为4×3矩阵，常数，则

是非齐次线性方程组

D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

的3个线性无关的解，为任意

的通解为（ ）

【答案】C 【解析】由

于又显然有基础解系.

考虑到 6． 设二次型

（1）求二次型的矩阵的所有特征值； （2）若二次型的规范形为【答案】（1）二次型的矩阵

求α的值.

是

的一个特解，所以选C.

（否则与

是非齐次线性方程

组，所以有解矛盾）

的三个线性无关的解，所

以从而

是

的一个

是对应齐次线性方程组

的两个线性无关的解.

二、分析计算题

由于

所以A 的特征值为

（2）解法1由于的规范形为故有

当兰

. 当

时，时.-时，

所以A 的特征值有2个为正数，1个为零. 又

于是

所以A 合同于

此时的规范形为

此时的规范形为

此时的规范形为

不合题意.

不合题意.

其秩为2，

综上可知，

解法2由于的规范形为所以

7． 设

（1）求V 写成阶乘形式的值；（2）V 的值的末位有多少个零. 【答案】（1）由范德蒙公式

（2）由于30个零.

8． 设

中有15个5, 5个15, 10个10, 从而V 的值的末位有

都是n 阶方阵. 定义：

证明：①若A ，B 都是半正定的，则A 。B 也是半正定的； ②若A ，B 都是正定的，则A 。B 也是正定的. 【答案】①因为

是半正定的，故存在实方阵

即有

再由于A ，B 皆为实对称的，故A 。B 亦然，且

其中

故由（6）得

即A 。B 是半正定矩阵.

使

因为A 是半正定的，故对任意实向量X 皆有