● 摘要
小波分析是近几十年来出现的一个新的数学分支,自诞生之日起,它一直是数学领域和其他领域的学者研究和关注的热点.小波框架理论是小波分析的主要内容之一,是研究小波分析的一个重要工具,在小波分析的发展中起到了非常重要的作用.近年来,人们在框架理论方面获得了许多的成果,在一维空间中,人们的研究范围由紧支撑正交小波的构造到半正交小波、双正交小波的构造以及Riesz小波、框架小波的构造,在高维空间中研究范围由二维、三维空间伸缩算子为2的情况,扩展到高维空间中伸缩算子为矩阵的情况.
本文引入了上框架的概念,首先从Bessel序列入手,研究其某些性质,然后再推导到框架上,并讨论了高维空间上框架和小波框架的特殊性质,对高维小波框架理论做了进一步的总结和完善.
本文还介绍了上的框架多分辨分析()理论,并给出了小波的存在条件,并利用研究了高维小波框架中性质较好的框架—高维小波紧框架的性质,并利用酉扩张原理,给出其构建方法,从而丰富和发展了小波紧框架的构造理论,并且对它的研究对信号去噪、图像融合等方面也有着重大的实用价值.
本文分五部分:
第一部分,绪论.简要叙述了小波分析理论的产生与发展以及框架理论的产生和研究状况.
第二部分,高维空间上框架的一些结论.首先列出了空间上框架和仿射系的定义,结合有关文献的相关结论,给出了仿射系与序列、框架、parseval框架的关系理论,并对它们做出了严格证明,对相关理论做了推广.
第三部分,上框架多分辨分析与小波.首先介绍了的概念,是将概念推广到了框架上.然后就A-伸缩小波的存在性进行探讨,给出了小波的存在条件.
第四部分,高维小波框架的定义及构造.分成两大部分,第一部分介绍了高维小波框架及框架算子的定义,并研究了其相关性质;第二部分通过运用第三章的知识,利用酉扩张原理给出了一种二维A-伸缩小波紧框架的构造方法.
第五部分,总结.
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