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数学分析04年A 卷：

1、（12分）设lim f (x ) =A 、lim g (x ) =B ，并且A

求证：存在δ>0，使当0

2、（16分）设数列{a n }满足条件：对任何正整数n 成立 a n +1−a n ≤

（1）求证：当n >m 时a n −a m ≤1 。 n 2111++L + ； 2n −12n −22m

（2）应用柯西收敛准则证明{a n }收敛。

3、（16分）计算下列极限：

a x −b x

（1） lim (a >b >0) ， x →0ln(1+x 2)

1+2+3++10 （2）lim n →+∞10 n n n 1n 22

4、（12分） （1）求证：⌠ sin x cos x dx =⌠dx ； ⌡0sin x +cos x ⌡0sin x +cos x

sin x dx 的值 。 ⌡0sin x +cos x

222222π2π2π2 （2）求积分 ⌠ 5、（15分）设空间闭区域V 由曲面z =x +y , z =2(x +y ) 及圆柱面x +(y −1) =1

所围成，试求V 的体积。

6、（10分）设f (x ) 在闭区间[a ，b ]连续，0<λ<1，求证：存在ξ∈[a ，b ]，使得

f (ξ) =λf (a ) +(1−λ) f (b ) 。

7、（15分）设 f n (x ) =x

(1+x 2) n (0≤x <+∞, n ≥2) ，

（1） 求：a n =max f n (x ) ； 0≤x <+∞

（2）

求极限：lim a n ) 。 n →+∞

8、（16分）设a n >0, ∑a

n =1+∞n 收敛，r n =∑a k =n +∞k ，求证下列结论：

（1）{r n }单调减少并趋于0；