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一、选择题

1． 若

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

则线性方程组（ ）•

都是4维列向量，且4阶行列式

2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

【答案】D 【解析】 3． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

则

线性无关，

由上述知因此

线性相关，所以线性相关，故选A.

于是

4． 设行列式

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

5． 设A 为4×3矩阵，常数，则

是非齐次线性方程组

的3个线性无关的解，

为任意

的通解为（ ）

【答案】C 【解析】由

于又显然有基础解系.

考虑到

是

的一个特解，所以选C.

（否则与

是非齐次线性方程

组，所以有解矛盾）

的三个线性无关的解，所

以从而

是

的一个

是对应齐次线性方程组

的两个线性无关的解.

二、分析计算题

6． 设同时为对角阵.

【答案】由于A 可对角，从而存在可逆阵P , 使

且A ，B 都可对角化，证明：存在可逆阵T ，使

与

其中所以

再由①，②以及

互异，知

为准对角阵，其中为

矩阵. 由于B 可对角化，则它的初等因子都是一次式，再由③知

使

则

为对角阵. 再令T=PR，则T 可逆，且

为对角阵

.

互不相同，且

由AB=BA.

的初等因子也都是一次式. 所应存在可逆阵

由④，⑤即证.

7． 证明：直和可以“代入”和“加括号”，即

①若②若

【答案】 ①由显然则但是

又若

于是由（11）得

故

且

则

则

得