● 摘要
从现代逻辑学的视野来看，逻辑学从古至今经历着从传统逻辑到经典逻辑再到非经典逻辑的发展过程。20世纪80年代以来，非经典逻辑在计算机科学和人工智能领域获得了基础性的地位．模糊逻辑与量子逻辑以及它们相应的代数系统是目前非经典逻辑体系中非常活跃的研究分支．本文主要就命题模糊逻辑系统中理论的相容性以及效应代数中的素滤子和商展开讨论，取得了一些有意义的研究成果． 在任何逻辑系统中，理论的相容性问题都十分重要．理论相容或不相容是对理论好坏的简单而粗糙的分类．自然如何对相容的理论进行更为精细的划分，即如何区分理论相容的程度也是非常值得关注的问题．理论的发散度的引进为解决这一问题提供了非常有利的工具．不相容的理论必是全发散的，即理论的发散度为1；但是全发散的理论是否一定不相容呢？文献[1，2]针对Lukasiewicz命题模糊逻辑系统已经作出了回答．本文第一章中就Godel，Product和Lˉ*牢三个逻辑系统讨论了该问题，并指出在这三个系统中均存在全发散且相容的理论．另外，文献[1]针对Lukasiewicz命题模糊逻辑系统中的有限理论提出了相容度函数，用来刻画有限理论的相容度．接下来文献[3]又利用逻辑系统的紧致性将文献[1]中所给的函数推广到任意理论上，并在二值经典逻辑系统中进行了相应的讨论．本文的第一章主要针对上面提到的四种命题模糊逻辑系统中理论的相容程度问题进行了更进一步的研究．利用理论的发散度和用以区分理论相容与否的极指标，在上述几个逻辑系统中引入了一种适合于任一有限或无限理论且表达相对简单的相容度函数． 1994年美国数学家Foulis和Bennett引进了效应代数概念，推广了正交模格，被看作是量子逻辑的数学模型．这种抽象的效应代数虽然历史很短，然而它却引起了数学工作者和理论物理工作者的极大兴趣．在过去十年里，与效应代数相关连的一系列概念和方法，象正交模部分有序集、D-集、理想、滤子、拟效应代数、效应代数的群表示和效应代数的泛群等得到了极大发展．本文第二章首先在效应代数中引入了与三角模算子和蕴涵算子密切相关的部分积和部分蕴涵算子，讨论了它们的一些基本性质并利用其讨论了格效应代数与模糊逻辑代数系统中的重要结构，即正则剩余格之间的联系．在第三章中通过引入R-滤子，引入了格效应代数中的素滤子概念，并讨论了R-滤子、素滤子、同余关系和商之间的关系．指出若F是效应代数E中的滤子，则～F是同余关系当且仅当F是R-滤子；格效应代数关于R-滤子F的商E／F是全序效应代数当且仅当F是素滤子．最后我们初步讨论了素滤子与素理想之间的关系．