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一、计算题

1． 某罐头制造公司需要在近五周内必须采购一批原料，估计在未来五周内价格有波动，其浮动价格和概 率如表所示。试求各周以什么价格购入，使采购价格的数学期望值最小。

表

--状态变量，表示第k 周的实际价格。

--决策变量，

=1，表示第k 周决定采购;

【答案】按采购期限将该问题分为5个阶段，将每周的价格看作该阶段的状态。

=0，表示第k 周决定等待。

--第k 周决定等待，而在以后采取最优决策时采购价格的期望值。

第k 周实际价格为

出逆序递推关系式为:

其中：由

和

的定义可知：

并且得出最优决策为：

从最后一周开始，逆序递推计算，具体过程如下: 当k=5时，当k=4时，由

于是

可知

即在第5周时，若所需的原料尚未买入，则无论市场价格如何，都必须采购，不能再等。

时，从第k 周至第5周采取最优决策时的最小期望值。 因而可写

所以，第4周的最优决策为同理求得

所以

所以

所以

所以，最优策略为:在第一，二，三周时，若价格为7就采购，否则就等待; 在第四周时，价格为8或7 应采购，否则就等待; 在第五周时，无论什么价格都要采购。按上述最优策略进行采购时， 价格（单价）的数学期为：

2． 某工厂设计的一种电子设备由A 、B 、C 三种元件串联而成，己知三种元件的单价分别为2万 元、3万元、1万元，单件的可靠性分别为0.7、0.8、0.6，要求设计中使用元件的总费用不超过10万元，问应 如何设计使设备的可靠性最大? （请使用动态规划方法求解）

【答案】设各种元件的个数为x 1，x2，x3，则根据变量的个数，将该问题分为3阶段。设状态变量为s 1，s 2，s 3，s4并计 s 1=10; x 1，x2，x3为各阶段的决策变量; 各阶段的指标函数按乘法方式结合。令最优值函数f k （s k ）表示第k 阶段的 初始状态为s k ，从第k 阶段至第3阶段的最大值，f 4（s 4）=1。

得模型为

则有用逆推方法

最优解为

设

由

x 2* =1，

解得

由

数, s 1=10,

即购买三种元件分别为3件、1件、1件。

3． 某农场考虑是否提早种植某种作物的决策问题，如果提早种，又不遇霜冻，则收入为45元；如遇霜冻，则收入仅为10万元，遇霜冻的概率为0.4。如不提早种，又不遇霜冻，则收入为35万元；即使遇霜冻，受灾也轻，收入为25万元，遇霜冻的概率为0. 2，己知:

（1）该农场的决策者认为:“以50%的机会每45万元，50%的机会得10万元”和“稳获35万元”二者对其来说没有差别；

（2）该农场的决策者认为:“以50%的机会得45万元，50%的机会得35万元”和“稳获40万元”二者对其来说没有差别；

（3）该农场的决策者认为:“以50%的机会得35万元，50%的机会得10万元”和“稳获25万元”二者对其来说没有差别。 问题如下:

[1]说明该决策者对风险的态度，按期望效用最大的原则，该决策者应做何种决策? [2]期望收益最大的原则，该决策者又应做何种决策?

【答案】[1]将最高收益45万元的效用定为10，记为U （45）=10。把最低收益值10万元的效用定为0，记为U （10）=0。 则决策者对风险的态度可以表示为:

令提早种的期望效用为E 1，不提早种的期望效用为E 2。则

E 2 > E1，所以，决策者的决策应为不提早种。

，但1≤x 2≤s 2/3，s 2 ≤

10-2*1=8

解得

，且为整