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一、证明题

1． 设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，【答案】设束缚定态为

即有：

因A 不显含时间t , 所以

2． 试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：

（其中

为幺正变换，则:

）

可见，本征值不变。

因而有：

二、计算题

3． 三个自旋为的全同粒子，在一维位势示）。

（2）它们的简并度分别是多少？ 【答案】（1）基态

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中运动。

表

（1

）给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应的本征矢（谐振子波函数以

第一激发态：

（2）基态二重简并，第一激发态四重简并。

4． （1）求算符【答案】⑴

即算符⑵则

5． 粒子的一维运动满足薛定愕方程：（1）若

是薛定谔方程的两个解，证明

与时间无关.

不对易.

得证.

的对易关系. （2）证明

其中

（2）若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式. 【答案】⑴

取式（1）之复共轭，得

得

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对全空间积分： 即

所以与时间无关. （2）设

代入薛定谔方程，分离变量后，得

E 为既不依赖t , 也不依赖r 的常数. 这样，

所以

因此，通解可以表示为

其中，

是满足不含时的薛定谔方程

6． 粒子在一维无限深势阱中运动. 设该体系受到的微扰作用。（1）利用微扰理论求第n 能级的准至二级的近似表达式. （2）指出所得结果的适用条件. 【答案】（1） 一维无限深方势阱：

体系的零级近似波函数和零级近似能量

求到二级，矩阵元一般形式

则第n 能级的二级近似能量

（2）结果适用的条件是：

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