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一、计算题

1． 结构如图（a ）所示，若梁AB 的温度沿梁高按线性变化，今知梁下表面的温度升高了T ℃，上表面及其上的杆件的温度均不变。梁的截面为矩形，材料的线膨胀系数为α，试求C ，D 两点的水平相对位移。

图

【答案】在梁上截取微段dx ，温度引起的变形

中性层处的伸长为

虚功原理是求位移的一个重要方法，它可用来求任何材料（线性或菲线性的）构成的各种结构（梁、桁架、 刚架、混合结构等）在任何外部因素（外力、温度、支座沉陷等）影响下产生的任何位移（线位移，角位移、相 对位移等）。

因此按照虚功原理，把温度改变引起的变形看作虚变形，为求C ，D 两点的水平相对位移，就在C ，D 两点 加一对单位力，相应的轴力图和弯矩图如图（c ），（d ）所示。由外力系（单位力及相应的反力）在虚位移 上的相应虚功和杆件各微段上的相应内力在虚变形上的虚功相等，于是可求得C ，D 两点间的相对位移为

2． 试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作图1所示各梁的剪力图和弯矩图。

图1

【答案】（l ）首先由平衡条件求得固定端支反力:

剪力图:在端点A 处有向上的集中荷载，故在此处剪力图有突变，值为5kN ; AC 段无荷载，故其剪力图上为一水平直线; CB 段作用有方向竖直向下的均布荷载，故其剪力图为一斜率为负的直线。 弯矩图:在端点A 处有逆时针的集中力偶，故在此处弯矩图有突变，值为10kN ·m ; AC 段剪力图为

一水平直线，由微分关系可知弯矩图为一斜率为正的直线; 同理CB 段弯矩图为一向下凸的抛物线。

剪力图和弯矩图如图2（a ）所示。

图2

m （2）首先由平衡条件求得固定端支反力:F A =15kN，M A =25kN·

剪力图:在端点A 处有向上的集中荷载，故在此处剪力图有突变，值为15kN ; AC 段无荷载，故其剪力图 上为一水平直线; 在C 处有向下的集中荷载，故在此处剪力图有向下的突变，值为15kN ; CB 段无荷载，故其剪力图上为一水平直线。

弯矩图:在端点A 处有逆时针力偶作用，故在此处弯矩图有向下的突变，值为25kN ·m ; AC 段剪力图为一水平直线，由微分关系可知弯矩图为一斜率为正的直线; 在C 处有逆时针的集中荷载，故在此处剪力图有向下的突变，值为10kN ·m 。

剪力图和弯矩图如图2（b ）所示。

（3）首先根据该结构和荷载的对称性可求得支反力:

剪力图:在端点A 处有向上的集中荷载，故在此处剪力图有向上的突变，值为1.5qa ; AC 段无荷载，故其剪力图上为一水平直线; CD 段有向下的均布荷载，故其剪力图上为一斜率为负的直线; DB 段无荷载作用，为一水平直线; 在B 端点有集中荷载，故剪力图有向上的突变，值为1.5qa 。 弯矩图:AC 段剪力图为一水平直线，由微分关系可知弯矩图为一斜率为正的直线; CD 段为一抛物线，在剪力为零，即梁跨中截面处达到极值，为:

在DB 段由微分关系可知弯矩图为一斜率为负的直线。

剪力图和弯矩图如图2（c ）所示。