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一、计算题

1． 一空心圆管A 套在实心圆杆B 的一端，如图所示。两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一个

角。现在杆B 上施加外力偶使杆B 扭转，以使两孔对准，并

穿过孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆B 上的外力偶。已知杆A 和杆B

的极惯性矩分别为

; 两杆的材料相同，其切变模量为G 。试求管A 和杆B 横截面上的扭矩。

图

【答案】设两杆组成杆系的两端分别作用力矩为（l ）根据静力平衡条件得（2）补充方程

由于钢圆轴两端固定，可得变形协调方程:根据胡克定律可得:代入上式得补充方程得:（3）求解 联立式①②可得:

因此，管A 、杆B 横截面上的扭矩为

2． 弯曲刚度为EI 的超静定梁及其承载情况分别如图1（a ）和（b ）所示。梁材料为线弹性，不计剪力的影响，试用卡氏第二定理求各梁的支反力。

图1

【答案】（l ）该结构为一次超静定梁。解除弹簧支座D 处多余约束，代之以约束反力X ，可得到如图2（a ） 所示基本静定系统，建立图示坐标系。 由平衡条件可得到A 、B 处铰支座的支反力:

由此可得到各段弯矩方程及其偏导数: AB 段

BD 段

在弹簧力作用下，D 点处的位移为:

与原结构相比，可得基本静定系得变形协调条件:

其中，由第二卡氏定理得到D 点挠度:

代入式①即:解得:

由此可得各支座约束反力:

图2

（2）该结构为二次超静定结构。解除B 端约束，代之以约束反力x l 、x 2，如图2（b ）所示，建立图示坐标系。由此可得梁AB 的弯矩方程及其偏导数:

由于原结构中B 端固定，故可知静定系统中，B 截面的转角和挠度均为零。 ①根据θB =0，由卡氏第二定理可得:

整理可得:

②根据

，由卡氏第二定理可得:

整理可得:

联立式①、②得:综上，

（逆时针），

（顺时针），

3． 如图所示结构ABCD 由三根直径均为d 的圆截面钢杆组成，在B 点铰支，而在A 点和C 点固定，D 点为铰接，

结点D 处的荷载F 的临界值。

。若考虑结构在图示纸平面ABCD 内的弹性失稳，试确定作用于

【答案】由于该结构为超静定结构，BD 杆失稳后，AD 杆和CD 杆仍继续承载，直至AD 杆和CD 杆失稳时结构丧失承载能力。故对铰D 进行受力分析可得平衡方程:

BD 杆两端铰支，其中，长度因数故各杆的临界力:

代入式①可得失稳时的临界力:

AD 杆和CD 杆一端固定，，一端铰支，其长度因数，