● 摘要
算子代数理论产生于20世纪30年代, 随着这一理论的迅速发展,现在这一理论已成为现代数学中的一个热门分支.它与量子力学,非交换几何, 线性系统, 控制理论,数论以及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联系和互相渗透.为了进一步探讨算子代数的结构,近年来,国内外诸多学者对算子代数上的映射进行了深入的研究,如导子,双导子, 同构, 基础映射, 线性保持问题等, 发现了许多新颖的证明方法, 并不断提出新思路,如可交换映射,函数恒等式等概念的引入,目前这些映射已成为研究算子代数不可或缺的工具.其中三角代数是一类重要的非自伴非素的算子代数,上三角矩阵代数和套代数均属于这一类代数.本文在已有结论基础上主要对某些代数上的非线性Lie导子, 零点Lie可导映射, 零点广义$*$-Lie可导映射的结构问题进行了探讨.本文分四章, 具体内容如下:
第一章主要介绍了本文要用到的一些符号,定义以及本文要用到的一些已知结论和定理.第一节我们主要介绍套代数, Lie导子, 非线性Lie导子,可交换映射, 零点Lie可导映射, 零点广义$*$-Lie可导映射等概念.第二节主要介绍了一些熟知的命题和定理.
第二章主要对矩阵代数上的非线性Lie导子进行了刻画.证明了矩阵代数上的每一个非线性Lie导子$phi$是内导子, 非线性映射$h$与$A_{varphi}$ 的和, 其中$h$是零化交换子的中心值非线性映射, $A_{varphi}$代表$A$在$varphi$下逐点作用的象,$varphi$是可加导子.
第三章首先讨论了套代数上零点Lie可导映射, 证明了套代数$ au(mathcal{N})$上的每一个零点Lie可导映射都具有形式$A
ightarrow AT-TA+lambda A+h(A)I,$ 其中$Tin{ au(mathcal{N})},lambdain{mathbb C},$$h: au(mathcal{N})
ightarrow {mathbb{C}}$为一个线性映射. 接着讨论了$mathcal{B(H)}$上的零点广义$*$-Lie可导映射, 证明了$mathcal{B(H)}$上的每一个零点广义$*$-Lie可导映射都具有形式$X
ightarrow XT+T^{*}X,$ 其中算子$Tinmathcal{B(H)}$且$T+T^{*}=cI,$ $c$是实数.