2018年山西农业大学食品科学与工程学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
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2
． 设三阶方阵A 、
B
满足式
的值
.
其中
E 为三阶单位矩阵.
若求行列
【答案】由矩阵知则
. 可
逆. 又故
即
所以
即而
故
3． 设二次型
（
1）证明二次型
f 对应的矩阵为（
2）若
【答案】（1
）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型
/对应的矩阵为（2）证明
：
设则
而矩阵A 的秩
故f 在正交变换下的标准形为
，由于
所以为矩阵对应特征值所以为矩阵对应特征值
所以
的特征向量； 的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
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4． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
二、计算题
5． 设A 为n
阶
矩阵
，
为A 的伴随矩阵. 证明
【答案】（1）当R （A ）时
，（2
）当即
（3）当R （A ）=n-1时，由矩阵秩的定义，A 中至少有一个n-1阶子式不为零，也即少有一个元素不为零，
故
由矩阵秩的性质得
把R （A ）=n-1代入上式，
得
知，
综合以上两个关于
.
得，从而
的任一元素均为零，
时，由矩阵秩的定义知，A 的所有，n-1
阶子式即
中至
另一方面，因R （A ）=n-1，有|A|=0.
由
的不等式，便有