2017年西安电子科技大学9071概率论与数理统计、常微分方程、数值分析之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设总体密度函数为数的分布.
【答案】总体分布函数为
故样本中位数
的精确分布密度函数为
这个精确密度函数是26次多项式, 使用是不方便的, 譬如以求的, 可就是不方便, 寻求近似计算就十分必要.
下面来寻求故在n=9时
的渐近分布, 由于总体中位数是的渐近分布为
利用此渐近分布容易算出概率
2． 若在猜硬币正反面游戏中，某人在100次试猜中，共猜中60次，
你认为他是否有诀窍？（取
）.
【答案】设p 为该人猜中概率，则该问题可以归结为如下假设检验问题：
以x 记100次中猜中的次数，则在原假设成立下，x 〜b （100，0.5）, 由于样本量相当大，检验统计量可取为
检验的p 值近似为
因此应拒绝原假设，看来此人猜硬币有某种诀窍.
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是来自该总体的样本, 试求样本中位
用上述密度函数是可
且
在原假设下，该统计量近似服从正态分布N （0, 1），故检验拒绝域
为
3． 一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾，然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接，求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率.
【答案】因为“六个尾两两相接”不会影响是否成环，所以只需考虑“六个头两两相接”可能出现的情况，若考虑头两两相接的前后次序，则“六个头两两相接”共有6! 种不同结果，即先从6个头中任取1个，与余下的5个头中的任1个相接；然后从未接的4个头中任取1个，与余下的3个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，这总共有6! 种可能接法，这是分母，而要成环则第一步从6个头中任取1个，此时余下的5个头中有1个不能相接，只可与余下的4个头中的任1个相接；第二步从未接的4个头中任取1个，与余下的2个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，
这总共有
种可能接法，由此得所求概率为
4． [1]设总体X 的密度函数为机样本，求的置信水平为
，其中
的置信区间.
，现从此批产品中抽取容量为
求平均寿命
的置信水平为0.9的置信区间和单侧置信上、下限.
，根据伽玛分布的性质，
从而
.
因此可得的置信水平为
的置信区间为
查表可得，
.
【答案】由指数分布和伽玛分布的关系知
为未知参数，
为抽自此总体的简单随
[2]设某电子产品的寿命服从指数分布，其密度函数为9的样本，测得寿命为（单位：kh ）
[2]这是题[1]的一个具体应用. 计算得
根据上题结论可知，的置信水平为0.9的置信区间为[0.0088, 0.0272], 单侧置信上限为0.0245, 单侧置信下限为0.0102. 所以，平均寿命1A 的置信水平为0.9的置信区间[36.76，113.64], 单侧置信上限为98.04，单侧置信下限为40.82. 5 某产品的合格品率为99%, 问包装箱中应该装多少个此种产品, 才能有95%的可能性使每箱中．
至少有100个合格产品.
【答案】设包装箱中装有n 个产品, 其中合格品数记为X , 则有
成立. 利用二项分布的正态近似, 可得
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下求m 使
查表可得
由此解得
, 即每箱装有104个产品, 能有95%的可能性使每箱中至少有100个合格产
品.
6． 盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X 表示取到黑球的个数，以Y 表示取到红球的个数，试求P （X=Y）.
【答案】
7． 某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在σ=0.85, 现抽取了一个容量为n=25的样本，测定其强度，算得样本均值为的置信区间.
【答案】这是方差已知时正态均值的区间估计问题.
由题设条件
于是这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为
即这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为[1.9168, 2.5832].
8． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一件，试求取到三级品的概率.
【答案】设取到三级品的概率为P ，则取到二级品的概率为2p ，取到一级品的概率为6p ，
由
解得P=l/9.
，
查表知
，试求这批化纤平均强度的置信水平为0.95
二、证明题
9． 在回归分析计算中，常对数据进行变换：
其中
平方和之间的关系；
（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下：
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是适当选取的常数.
（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差
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