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一、证明题

1． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则

【答案】记这正是二项分布

因为

的特征函数，由唯一性定理知

且X 与Y

所以由X 与Y 的独立性得

2． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为p （x ，y ），证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p X ，y ）（可分离变量，即

【答案】记X 与Y 的边际密度函数分别为独立，则

，即p （X ，y ）可分离变量，其中

下证充分性:因为

由联合密度函数的正则性，得

又因为

9 »

由此可得

x ）所以x 与y 相互独立，且从以上的证明过程可知:h （与也相差一个常数因子

3． 设

即它不是有效估计.

【答案】设

是0的任一无偏估计，则

»

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又问与边际密度函数有什么关系？

，必要性是显然的，因为X 与Y 相互

.

，所以记

相差一个常数因子，

，这两个常数因子的乘积为1.

，求

的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，

即

将

式两端对求导，并注意到

，有

这说明我们将

，即

.

式的两端再对求导，得

由此可以得到，记

则

9

从而，进一步，

4． 设总体的概率函数证明费希尔信息量

【答案】记，

，则

所以

另一方面，

的费希尔信息量存在，若二阶导数

对一切的

存在，

为

的UMVUE.

，C-R 下界为.

.

故此UMVUE 的方差达不到C-R 不等式的下界.

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这就证明了

:

5． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式

（1）（2）（3）

【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.

（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N —m+1次必取到白球，若记P k 为第k 次取到白球的概率，则有

且

即

对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.

（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率. 6． 试用特征函数的方法证明分布的可加性:若随机变量

则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是

分布

的特征函数，由唯一性定理知

7． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布

则

【答案】二项分布因为而

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且X 与Y 独立，

若

其中

的特征函数为所以当

时，

则

正是泊松分布的特征函数，故得证.