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一、计算题

1． 从一批服从指数分布的产品中抽取10个进行寿命试验，观测值如下（单位：h ）:

根据这批数据能否认为其平均寿命不低于1100h （取）？

【答案】

指数分布题，待检验的假设为

由样本数据可算得若取

则查表知

故检验统计量为

由于拒绝域为

故接受原假

中是总体均值，所以这是一个关于指数分布参数的假设检验问

设，可以认为平均寿命不低于ll00h.

2． 设总体分布列如下，是样本，试求未知参数的矩估计.

（1）（2）

【答案】（1）总体均值估计量为

其中为样本均值，若

（2）总体均值

故有

3． 设（X ，Y ）是二维随机变量，X 的边缘概率密度为

在给定

即

从而参数的矩估计为

（正整数）是未知参数；

解之可得N=2E（X ）+1.故N 的矩

不是整数，可取大于

的最小整数代替

由于

的条件下，Y 的条件概率密度为

（1）求（X ，Y ）的概率密度（2）Y 的边缘密度

【答案】（1）（X ，Y ）的联合概率密度

（2）Y 的的边缘概率密度

4． 设随机变量X 服从

【答案】X 的密度函数为

由于X 在间外，

其中

当

内取值，所以时，使

的可能取值区间为（0，1）. 在Y 的可能取值区

如图

.

上的均匀分布，求随机变量的密度函数

的x 取值范围为两个互不相交的区间

图

故

在上式两端对y 求导，得

即

5． 设二维随机变量（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布, 求极坐标

的联合密度.

【答案】因为（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布, 所以（X , Y ）的联合密度函数为

则

所以

由此得

和

的联合密度函数为

6． 设随机变量X 服从标准正态分布N （0，1），试求以下Y 的密度函数：

（1）【答案】（1）

. ；（2）

所以当

时，Y 的密度函数为

对上式两端关于y 求导得

所以Y 的密度函数为

这个分布被称为半正态分布. （2

）

的可能取值范围为

所以当

时，Y 的密度函数为

对上式两端关于y 求导得

所以Y 的密度函数为

7． 设

当

y>l时，Y 的分布函数为

的可能取值范围为

当y>0时，Y 的分布函数为

是来自拉普拉斯（Laplace ）分布

的样本, 试给出一个充分统计量. 【答案】样本的联合密度函数为

取

计量.

, , , 由因子分解定理, 为的充分统