● 摘要
1900年, 在巴黎的第二届国际数学家大会上, D. Hilbert提出了23个数学难题, 其中第16问题的后半部分是确定平面多项式系统的极限环的个数及其分布.本文主要是在Hilbert第16问题的已有结果基础上, 进一步讨论几类特殊微分多项式系统的极限环分支问题, 给出了它们产生多个极限环的具体条件, 对它们在平面上所产生的极限环最大个数的下界给出了一些新的结果. 全文共分五章, 具体内容概括如下：第一章概括了与本文相关的背景知识和预备知识. 分别介绍了Hilbert第16问题(后半部分)、弱化的Hilbert第16问题及其研究进展, 并对平面系统的分支理论和研究方法做了介绍.第二章讨论了一类参数系数的Hamilton系统的分类情况. 通过对五次含参系统中的参数进行不同取值, 我们得到了15种不同的分类形式并找到了对应的分支现象, 例如Hopf分支, 同宿分支, 异宿分支, 幂零中心分支, 幂零鞍点分支以及幂零尖点和鞍点的多角环分支等.第三章研究了一类九次Lienard系统的极限环个数问题, 即利用Melnikov函数的方法研究具有双同宿环和二角环结构特点的五次未扰系统(第二章的第(12)种形式)在九次扰动下的Hopf分支, 同宿分支, 异宿分支, poincare分支等, 给出了求解这类系统极限环个数的一般定理并加以例证, 得到此类九次李纳系统的极限环个数至少为10个.第四章对第三章的未扰系统, 利用Melnikov函数和Hopf分支, 同宿分支, 异宿分支, poincare分支的方法, 我们得到扰动项分别为七次、五次、三次的Lienard系统的极限环个数至少为10个、5个、3个.第五章研究了某些Lienard系统的极限环个数问题. 利用Melnikov函数的方法研究具有复合环结构特点的未扰系统在扰动下的Hopf分支, 同宿分支, 异宿分支, poincare分支等, 给出了这些系统求解极限环个数的一般定理并加以例证, 得到了这些Lienard系统的极限环个数为H(10,5)≥11、H(6,5)≥7、H(2,5)≥4.
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