2018年陕西师范大学旅游与环境学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
与
相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使
【答案】由
于故B 的特征值
为
从而B
可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，
得
有
即a=5.
由
得A ，B 有相同特征值
，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得
：令
记
有
.
因此
即
则P
可逆
，
且
2．
设n 维
列向量
【答案】记
线性无
关，其中S
是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
线性无关，得
整理得，由
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而
组的基础解系为数.
3． 已知实二次型
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，即①的通解为
对应齐次方程A 为任意常
的矩阵A ，满足且其中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ）求出二次型
的具体表达式.
【答案】（Ⅰ）由由
知
，B 的每一列
满足
知矩阵A
有特征值
即
是属于
A 的特征值.
则
与
—
j 正交，
于是有
令
的线性无关特征向
显然
B 的第1
, 2列线性无关
，量，
从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
故二次型
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