2018年北京科技大学数理学院876量子力学考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、简答题
1． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。
【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在
用算符的本征函数
展开
态中测量粒子的力学量^
得到结果为
的几率是
得到结果在
范围内的几率
为
2． 波函数么？
【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。
表示在时刻附近
体积元中粒子出现的几率密度。
是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？的物理含义是什
二、计算题
3． 在【答案】
本征方程为：
即：
由此得：即：
有非零解的条件是：由此得：
表象中，求
是
方向的单位矢。
的本征值和本征态，这里，
可求得与对应的本征矢为：
与对应的本征矢为：
4． 已知氢原子在t=0时如下处于状态：
其中，
为该氢原子的第n 个能量本征态。求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出t
将t=0时的波函数写成矩阵形式：
＞0时的波函数。
【答案】已知氢原子的本征值为：
利用归一化条件：
于是，归一化后的波函数为：
能量的可能取值为
相应的取值几率为：
能量平均值为：
自旋z 分量的可能取值为
相应的取值几率为：
自旋z 分量的平均值为：
f>0时的波函数为：
5． —体系未受微扰作用时只有三个能级：能量至二级修正。
【答案】至二级修正的能量公式为
其中
分别为一级和二级修正能量. n=1时，将m=2, 3代入II 式得
n=2时，将m=l, 3代入II 式可得
n=3时，将m=l, 2代入II 式可得
再分别由I 式、III 式、IV 式和V 式可得
现在受到微扰的作用，
微扰矩阵元为
和c 都是实数. 用微扰公式求
三、综合分析题
6． 粒子在势场
中运动并处于束缚定态
中。试证明粒子所受势场作用力的平均值为零。
【答案】粒子所受势场作用的力算符为：
于是：