2018年北京航空航天大学物理科学与核能工程学院691物理一之量子力学教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、简答题
1． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系
时有确定的测值。
2． 能级的简并度指的是什么？
【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。
3． 完全描述电子运动的旋量波函数为
分别表示什么样的物理意义。
【答案
】
表示电子自旋向
下
表示电子自旋向上
的几率。
位置
在
处的几率密度
；
试述
及
物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同
二、综合分析题
4． 将质子看作是半径为R 的带电球壳，半径
，
（其中e 为基本电荷值，
为玻尔
）, 计算由于质子（即氢原子核）的非点性引起氢原子基态能级的一级修正。
的形式，其中
利用非简并微扰理论，有：
【答案】将系统哈密顿量写为已知氢原子的基态波函数为
因为因此有：
5． 如图所示，设电子以给定的能量
（1）求反射系数和透射系数。 （2）给出发生共振隧穿的条件。
（3）考虑到电子有自旋（自旋向下或向上），你能否借用上面的结果，设计一个量子调控装置，使反射回来 的只有自旋向上的电子而没有自旋向下的电子？
图
【答案】（1）设能量为五的粒子从左侧入射，则由薛定锷方程：
解得：
自左入射，
遇到一个方势阱
其中，
考虑波函数及其导数在
和
时的连续性，可以解出：
因此透射系数：
反射系数：
因此共振能量为
为
（2）当t=1时，出现共振透射，此时所有使
的正整数。
（3）外加均匀磁场B ，则入射自旋向下电子能量为自旋向下电子全部透射，反射系数为零。此时有：
当此能量为共振透射能量时，
6． 自旋
的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，
已知其能量算符为
（1）求能级的精确值。 （2）视【答案】
则：
可得：当
（2）
本征值为
取
相当本征函数（表象）为
则
项为微扰，用微扰论公式求能级。
的矩阵元（表象）为：
7． 设两个自旋为粒子构成的体系，哈密顿量
向，求t ＞0时测量粒子1的自旋处于z 轴负方向的几率。 【答案】体系的哈密顿算符为：
选择耦合表象，由于s=0，1，故四个基底为：
在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即：
其中，C 为常数，
分别是粒子1
和粒子2的自旋算符。已知t=0时，粒子1的自旋沿z 轴的负方向，粒子2的自旋沿z 轴的正方