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2018年北京化工大学理学院862量子力学考研强化五套模拟题

  摘要

一、简答题

1. 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质?

【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符,因而具有所有厄米算符的性质.

量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的,比如,力学量的平均值为实数,因而对求平均值的式子求共轭后,其值应该不变,而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.

2. 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】

3. 简述波函数的统计解释。

【答案】波函数在空间某一点的强度(振幅绝对值的平方)和在该点找到粒子的几率成正比。

4.

写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为

5. 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。

【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”;一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。

6. 假设体系的哈密顿算符不显含时间,而且可以分为两部分:一部分是(非简并)和本征函数

已知:另一部分

很小,可以看作是加于

的对易关系.

它的本征值

上的微扰. 写出在非简并

状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】

一级修正波函数为二级近似能量为其中

7. 什么是隧道效应,并举例说明。

【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应,如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。

8. 如果算符表示力学量那么当体系处于

的本征态时,问该力学量是否有确定的值?

【答案】是,

其确定值就是在本征态的本征值。

9. 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】

10.写出泡利矩阵。 【答案】

二、证明题

11.试证明,表象经么正变换后,不改变算符本征值。 【答案】设可得:

(其中

为幺正变换,则:

可见,本征值不变。

12.证明么正变换不改变算符的本征值。

【答案】设在某一表象下,一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符,其在该表象下的矩阵表示为F , 则对其进行么正变换后的矩阵表示为:

由于相似变换不改变矩阵本征值,故

与F 本征值相同,因此么正变换不改变算符本征值。

三、计算题

13.两个电子处于自旋单态,

分别表示两个电子的

算符。设的平均值。 则:

由于

(在

表象),

(在

表象),则

所以有:

为空间任意给定的

两个方向的单位矢量,求关联系数C (a , b ),即

【答案】解法一:取为z 轴,在(x ,z )平面与夹角为

解法二:

解法三:

电子都处于自旋单态,故而

所以有:

14.假设一个定域电子(忽略电子轨道运动)在均匀磁场中运动,磁场S 沿轴正向,电子磁矩在均匀磁场

中的势能表示

这里

为电子的磁矩。自旋用泡利矩阵

所以有:

其中,

因为两个

(1)求定域电子在磁场中的哈密顿量,并列出电子满足的薛定谔方程:(2)假设(3)求

时,电子自旋指向x 轴正向,即时,电子自旋指向y 轴负向,即

时,自旋的平均值。

的几率是多少?

【答案】(1)忽略电子轨道运动,其中,所以哈密顿为:薛定谔方程为:(2)在

是玻尔磁子。

表象中求解,自旋波函数可表示为:

即:

其中,