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一、简答题

1． 厄米算符的本征值与本征矢

分别具有什么性质？

【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。

2．

写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为

的对易关系.

二、计算题

3． 分别在【答案】（1

）在

故：令

因此有：由可得：

有：

因

是厄米算符，

有

所以

即a 、d 为实数

，

表象中，求出表象中

的矩阵表示，并求出由

表象到

知

表象的变换矩阵。的本征值为±1，

应为对角矩阵，对角元为的本征值，由

所以a=﹣a ，即a=0；d=﹣d ，即d=0。

由

而

所以

有：

取

则：

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取（2）在

则（比较在表象中，

再求得

最后求得

表象中，方法同上。先令

表象到

表象的变换矩阵。

设其基矢为

（3）下面求由的本征值为：求

的本征矢，对于本征值有：

再归一化，得：对于本征矢

可得：

所以，变换矩阵为：取

有：

4． 求一宽度为a 且关于原点对称的一维无限深势阱中粒子的坐标在能量表象中的矩阵元. 【提示：

【答案】【注：题中所给积化和差公式有误，正确的积化和差公式为在势阱内有定态方程

处于定态时有

则有

由于势函数满足（1）满足偶宇称时有则

设

则波函数满足奇宇称或偶宇称.

注意到①有

有

】

】

再考虑到归一化条件

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注意到波函数乘以一个常数描述的仍为同一个状态，则（2）同理，对奇宇称有

综合（1）（2）讨论有波函数

本征能量矩阵元即

若m=n, 可得到若

则可得到

5． 某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种

：

（1）无自旋全同粒子。 （2）自旋

的全同粒子（例如电子）。

【答案】（1） s=0, 为玻色子，体系波函数应交换对称。

有如下六种：

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试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。