2018年南开大学统计研究院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量变量.
【答案】
令
两边取对数，并将
展开为级数形式，可得
所以
而
正是
的特征函数，由特征函数的唯一性定理及判断弱收敛则由X 的特征函
数
可
得
证明:当
时，随机变量
按分布收敛于标准正态
的方法知结论成立.
2． 设为独立的随机变量序列，证明:若诸
则
服从大数定律.
的方差
一致有界，即存在常数c 使得
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知
3． 设
证明:
服从大数定律.
为独立随机变量序列，且
服从大数定律.
相互独立，且
所以
【答案】因为
由此可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
第 2 页，共 42 页
服从大数定律.
4． 证明:容量为2的样本
【答案】
的方差为
5．
设总体
【答案】令
，则
对上式求导易知，当
6． 总体
（1）证明
，其中
时上式达到最小，最小值为是未知参数，又
，它小于的均方误差
.
是样本
，的矩估计和最大似然估计都是
它也是的相
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
为取自该总体的样本，为样本均值.
是参数的无偏估计和相合估计；
，则
，从而
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
于是，，这说明是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了也是的相合估计.
，显然
是的减函数，
（2）似然函数为且的取值范围为
’因而的最大似然估计为
下求的均值与方差，由于的密度函数为
故
第 3 页，共 42 页
从而
这说明
不是
的无偏估计，而是的渐近无偏估计. 又
因而
7． 设
是
的相合估计. 是来自
的样本，
为其次序统计量，令
证明【答案】令作变换
相互独立.
则
的联合密度函数为
其中
联合密度函数为
其雅可比行列式绝对值为
该联合密度函数为可分离变量，因而相互独立，且
8． 设随机变量独立同分布，且
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
这正是伽玛分布
所以由
诸的相互独立性
得的特征函数
为
的特征函数，由唯一性定理知
二、计算题
9． 从一批服从指数分布的产品中抽取10个进行寿命试验，观测值如下（单位:h ）:
根据这批数据能否认为其平均寿命不低于1100h （取【答案】指数分布题，待检验的假设为
第 4 页，共 42 页
）？
中是总体均值，所以这是一个关于指数分布参数的假设检验问
相关内容
相关标签