2018年中央财经大学金融学院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足AB=£
；的所有矩阵为
其中为任意常数
.
2．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和
B 是否相似，
若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B 的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化. 而
有2个线性无关的解，即
时矩阵A
有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B
只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量
，矩阵B 不能相似对角化
. 因此矩阵A 和
B 不相似
. 3． 已知对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵，
可得a=2.此时
是二重根，故
于是
必有两个线性无关的特征向量，于是
知
是矩阵
的二重特征值
，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
解（2E-A ）x=0, 得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，得特征向量先
再将单位化，
得正交矩阵：
且有
4
． 已知
且
. 求
故
【答案】
由题意知
又又
知
即
得
故
知
二、计算题
5． 设
，
，
，
线性相关.
其中
，证明向量组
线性相关.
【答案】方法一、由定义，知向量组
方法二、两向量组线性表示的矩阵形式为：
因
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