2018年中央财经大学统计与数学学院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
2． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解. 故所求的方程组可取为
解得此方程组
将
代入得，
构
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
3． 已知A
是
即
矩阵，齐次方程组
时
为任意常数. 此时方程组无解. 时
的基础解系是
与
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
的解.
对
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
此时方程组无解.
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
由
得到
所以矩阵
的基础解系为
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
对
线性表出，
故可设
作初等行变换，有
于是
则既可由
线性表出，也可
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
4． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
其中t 为任意常数.
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
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所以即而
故
二、计算题
5．
设
（
1）求一个可逆阵P ，使PA 为行最简形； （
2）求一个可逆阵
Q ，使QA
T 为行最简形
. 【答案】
⑴
于是（2）
且
为A 的行最简形；
于是
并且
为
的行最简形
.
6．
已知3阶矩阵A 的特征值为1
, 2, -3, 求
【答案】由特征值性质得A 的特征值时，
阶方阵，故
7． 求一个正交变换化下列二次型成标准形
（1）（2）
是B 的特征值. 分别取
知A 可逆，并且
因为当
为
知-1，5,
-5是B 的特征值. 注意到B 为3
【答案】（1）二次型f 的矩阵为