2018年重庆理工大学理学院820数理统计之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为独立随机变量序列，且
证明:
服从大数定律.
相互独立，且
故可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
这正是伽玛分布
的特征函数，由唯一性定理知
且X 与Y 独立，
的特征函数，由唯一性定理知
3． 试用特征函数的方法证明分布的可加性:若随机变量
则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是
分布
4． 证明:对正态分布
所以由
诸
的相互独立性
得
的特征函数
为
2． 设随机变量独立同分布，且
【答案】因
，若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在.
【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为
该函数在似然估计不存在.
时趋于，这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而的最大
5． 设随机变量X 服从为x 的指数分布，证明:
【答案】因为令
W
上的均匀分布，在服从参数为1的指数分布.
的条件下，随机变量Y 的条件分布是参数所以
的逆变换为此变换的雅可比行列式为
所以由此得
的联合密度函数为
的边际密度函数为
服从参数为1的指数分布. 是来自
的样本，
是来自
的样本，两总体独立.c ，
这表明:
6． 设
d 是任意两个不为0的常数，证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立，故
于是
与分别是两个样本方差.
7． 设
也是一个分布函数.
都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明
:
【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因
为
于是
（2）有界性. 对任意的X ，有
都是分布函数，故
当
时，
有
且
（3）右连续性.
8． 设总体
证明:
【答案】大家知道:则
分别是
为样本，
分别为, 的无偏估计，设
的UMVUE.
是0的任一无偏估计，
*
即
将
式两端对求导，并注意到
有
这说明为证明是
，即
，于是
式的两端再对求导，得
由此可以得到的项，有
这表明这就证明了是
由此可得到的UMVUE ,
，因而
t
，下一步，将
式两端对
求导，略去几个前面已经指出积分为0
，从而是的UMVUE.
的UMVUE ，我们将
二、计算题