2018年华中农业大学食品科技学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
2．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
3． 设A
为
的解为【答案】
由
有惟一解知
矩阵
且有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
4． 已知A
是
得
则方程组
. 即
即有
可逆.
有非零解，即存在
于是方程组
的基础解系是
使
. 所
只有零
有非零解，这与
矩阵，齐次方程组
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
由
的解.
对
得到
所以矩阵
的基础解系为
与
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
对
线性表出，
故可设
作初等行变换，有
于是
则既可由
线性表出，也可
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
其中t 为任意常数.
二、计算题
5． 求下列矩阵的特征值和特征向量：
【答案】
所以A
的特征值为（三重根）.
对于特征值-1，解方程（A+E）x=0.因
（2
）
所以A
的特征值为当
时，解方程（A+E）x=0，由
得对应的特征向量当
时，解方程Ax=0, 由
得对应的特征向量当
时，解方程（A —9E ）x=0, 由
得对应的特征向量（3）特征多项式为
所以A
的特征值为当
时，解方程（A+E）x=0,
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