● 摘要
格论是随着经典逻辑的的代数化与泛代数的发展而引进的一个代数系统, 法国数学家 Charles Ehressman 认为具有某种分配性的格(例如完备Heyting 代数)本身即可作为一种广义的拓扑结构加以研究, 而不仅仅是使用格论的观点和方法.
P.T.Johnstone 于交半格中引入的C-理想结构是研究Frame 理论(或Locale) 的重要工具. 鉴于余Frame 结构与Frame 结构的相互联系和相互促进, 因此本文通过在强并半格中引入C-滤子的概念, 并以强并半格中的C-滤子为工具对余Frame 结构的性质进行了初步研究, 进而讨论了余Frame 范畴的余积对象等范畴性质.本文的章节结构和具体内容安排如下:
第1章: 预备知识. 本章介绍了本文涉及的并半格, 余Frame, 并半格同态, 余Frame 同态, 范畴, 余积等相关概念以及相关基本性质, 为后面的章节提供必要的理论基础.
第2章: 强并半格中的$C$-滤子及其诱导的余Frame. 本章首先在并半格中引入上覆盖关系的概念, 其次通过上覆盖关系引入强并半格以及强并半格中上覆盖的概念, 并以上覆盖$C$ 为基础引入强并半格中的$C$-滤子, 最后, 在强并半格$S$ 中证明全体$C$-滤子族$CFil(S)$ 构成余Frame.
第3章: 简单上集值映射的并半格同态性质. 本章中首先根据在强并半格$S$ 中由单点$xin S$ 生成的上集 $uparrow x={yin S|xleq y}$ 是相对于任意上覆盖$C$ 的$C$-滤子这一结论, 引入简单上集值映射 $u: S
ightarrow CFil(S)$, $forall xin S$, $u(x)=uparrow x={yin S| xleq y}$, 证明简单上集值映射 $u: S
ightarrow CFil(S)$ 是保上覆盖$C$ 的并半格同态, 其次证明任意保上覆盖$C$ 的并半格同态 $g: S
ightarrow A$ 可以通过简单上集值映射 $u: S
ightarrow CFil(S)$ 与一个余Frame 同态 $h: CFil(S)
ightarrow A$ 的复合而得到. 最后, 通过$C$-滤子给出了余Frame 的等价形式.
第4章: 余Frame 范畴中的余积. 本章首先证明一族余Frame ${A_{lambda}|lambdain Gamma}$ 的直积 $prod_{lambdain Gamma } A_{lambda}$ 中由非零坐标只有有限个的元素构成的集合$A$ 关于直积的偏序关系构成强并半格, 再证明强并半格$A$ 是余Frame 族${A_{lambda}|lambdain Gamma}$ 在并半格范畴中的余积对象.其次通过余Frame $A_{lambda} (lambdain Gamma)$ 中的上覆盖关系, 在由余Frame 族 ${A_{lambda}|lambdain Gamma}$的直积 $prod_{lambda in Gamma} A_{lambda}$ 中的非零坐标只有有限个的元素构成的强并半格$A$ 中定义上覆盖$C^{*}$, 证明强并半格$A$ 中由上覆盖$C^{*}$ 诱导的余Frame $C^{*}Fil(A)$ 是余Frame 族 ${A_{lambda}|lambdain Gamma}$ 在
余Frame 范畴中的余积对象, 简单上集值映射 $u: A
ightarrow C^{*}Fil(A)$ 和各个标准入射 $q_{lambda}: A_{lambda}
ightarrow prod_{lambda in Gamma} A_{lambda} (lambda in Gamma)$ 的复合是余Frame 族 ${A_{lambda}|lambdain Gamma}$ 在
余Frame 范畴中的余积的态射族.
第5章: 余Frame 范畴的若干性质. 本章首先证明了余Frame 范畴有等子, 其次在余Frame 上定义同余关系来证明余Frame 范畴有余等子, 最后给出余Frame 范畴中的交和拉回方框.