2017年上海交通大学生物医学工程学院829电磁学和量子力学之量子力学导论考研冲刺密押题
● 摘要
一、简答题
1． —个量子体系处于定态的条件是什么？
【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。
2． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？
【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。
3． 简述波函数的统计解释。
【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
4． 如果算符表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的值？ 【答案】是，其确定值就是在本征态的本征值。
5． 什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？
【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。
6． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？
【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。
7． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数
已知：另一部分
很小，可以看作是加于
它的本征值
上的微扰. 写出在非简并
状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】一级修正波函数为二级近似能量为
第 2 页，共 39 页
其中
8． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。
【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。
9． 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。
【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。
10．现有三种能级【答案】一维谐振子．
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
对应
对应中心库仑势系统，例如氢原子；
二、计算题
11．设已知在，值为
的共同表象中，算符
的矩阵分别为
试在取
的本征态下求的可能取值和相应的概率及的平均值.
设
的本征态矢为
则由
【答案】可能取得的值有可以解得同理由
为
可以解得
概率为
时态矢为
概率为
态矢
平均值为
12．考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或反对称的。空间部分波函数是反对称时对应总的自旋平方对应总的自旋平方
本征值为
空间部分波函数对称时分别针对空间部分波函
的本征值为
本征值为0。假设两电子系统哈密顿量为
数是反对称和对称两种情形，求体系的能量。（提示：单电子自旋角动量平方算符
）。 【答案】利用
可知，空间部分波函数反对称时：
对
第 3 页，共 39 页
应能量：
对应能量：
空间部分波函数对称时：
13．一自由的三维转子的Hamiltonian
为（1）求能谱与相应的简并度； （2）若给此转子施加以微扰已知：
【答案】（1）显然，哈密顿算符与本征值对应， 故三维转子能谱
（2）转子在基态非简并时，故
式中，是轨道角动量算符，1是转子的转动惯量。
求基态能级移动（直至二阶微扰）.
其中1为轨道角动量量子数，其简并度为21+1 .
一级修正能量
故由微扰引起的能级移动为
14．自旋在
方向的粒子，磁矩为
二级修正能量
置于沿z 方向的磁场中，写出其哈密顿量，并求其
概率幅与时间的关系。 【答案】将上述自旋在
方向的粒子（譬如电子）置于沿z 方向的磁场B 中观察其概率幅的
变化。这时的哈密顿矩阵为：
式中
，
是泡利矩阵，
为粒子的磁矩。电子负电，从而自旋磁矩
与角动量的方
向相反。当自旋角动量和磁场同沿z 方向时，磁矩沿-z 方向。 可得薛定谔方程为：
即：
第 4 页，共 39 页