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一、简答题

1． 波函数么？

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近

2． —个量子体系处于定态的条件是什么？

体积元中粒子出现的几率密度。

是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？

的物理含义是什

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

3． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为

测不准关系为

4． 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。

【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。

5． 什么样的状态是定态，其性质是什么？

【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变

6． 波函数

是否描述同一状态？

【答案】

与描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。

7． 自发辐射和受激辐射的区别是什么？

【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；

受激辐射是处于激发能级低能级的。

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的原子被一个频率为的光子照射，受激发而跃迀到较

同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机

8． 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？

【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的

每条光谱线都分裂为

条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外

电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

9． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？

【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。

10．试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合

二、计算题

11．（1）求算符【答案】⑴

即算符⑵则

不对易.

得证.

的对易关系. （2）证明

其中

12．质量为m 的粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动. （a ）建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谔方程. （b ）当粒子处于状态率. 其中（c ）若上式的

分别是基态和第一激发态.

是t=0时刻的波函数，求粒子在其后任意时刻的波函数.

时，求测量粒子能量时的可能取得及相应的概

【答案】（a ）如图建立坐标系，

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图

设波函数当当令

哈密顿算符

满足薛定谔方程时，时，

则

的通解可表示为

利用边界条件由归一化可解得

得，

定态薛定谔方程的解为

对应的定态能量为（b ）当粒子处于态

几率1/4 ;

几率3/4

时，能量的可能值及几率为：

（c ）任意时刻t 的波函数可以表示为下面形式其中

故任意时刻t 的波函数其中

在此题中

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