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一、简答题

1． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？

【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。

2． 波函数【答案】

与

是否描述同一状态？

描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。

3． 完全描述电子运动的旋量波函数为

分别表示什么样的物理意义。

【答案

】

表示电子自旋向

下

表示电子自旋向上

4． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】

利用

的几率密度；

表示粒子在

的几率。

试述

及

位置

在处的几率密度

；

如何归一化？解释各项的几率意义。

进行归一化，其中

：

处

的几率密度。

表示粒子在

|

处

5． 自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

6． 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？

【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。

7． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。

选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：

圆偏光选择定则：

8． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

9． 能级的简并度指的是什么？

其中，

定义电子的自旋算符，并验证它们

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

10．将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于

粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

二、证明题

11．处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式：

其中，m 是电子质量，【答案】体系哈密顿量：

其中，显然有

设：

于是有：

其中：

同理，有:

为电子动量算符，算符定义为且和B 都

为实常数，证明电子角动量算符的分量为该体系的守恒量。

因此，有：

利用类似的方法，可得：

因此，有：

综上所述，可以得到也即故为体系守恒量，得证。

12．（1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. （3）对于角动量算符

证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.

因为存在

数

（2）证：因为而（3）因为

所以

即正交

而

所以

设本征方程为

其中为本征值，上式可改写为

易解出

C 为积分常数，可由归一化条

即为厄米算符。

具有周期性，

所以

即本征值为实

【答案】（1）证：对于厄米算符

件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制，

由此可得数记为

即角动量z 分量的本征值为是量子化的，相应本征函