2018年北京科技大学数理学院813工程力学之材料力学考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 在图（a ）所示单元体的应力状态中，试用解析法求指定斜截面上的应力、主应力大小及方向（要求标在单元体上），并求最大剪应力。
图
【答案】（1）
斜截面上的应力
（2）主平面及主应力大小
由于
，与
之间的夹角为
，
与
的夹角也是
，如图（b ）
所示。 （3）
, 而
是二向应力状态下垂直于
的各平
面上的最大剪应力。不是三向应力状态单元体上的最大剪应力。
2． 三根直径及长度均相同的圆截面杆，下端与刚性块固结，两侧的两杆（杆2）上端固定，中间杆（杆l ）上 端自由，并在该自由端作用有轴向压力F ，如图1（a ）所示。各杆微弯后的侧视图如图1（b ）所示。
图1
（l ）试检查为求系统在面外（即垂直于三杆组成之平面）失稳时的临界力，根据图2（b ）所示的坐标系及挠 曲线形状列出的下列挠曲线微分方程，特别是其中的正负号是否正确?
即
式中，I 为杆横截面的惯性矩；（2）上两列微分方程的解为
从而有
为求杆系能在微弯形态下保持平衡的最小压力，亦即临界力F cr 将下列五个条件代入以上四式，然后根据A 1、 B 1、A 2、B 2、δ不能均为零，亦即挠曲线存在的条件来求F cr 。试分析下列五个条件是否正确?
。
（3）试检验用以求F cr ，即求
的方程为（以行列式表示）:
【答案】（l ）该分析过程是正确的。
根据图1（b ）所示坐标系可得杆1、2的弯矩方程分别为:
则两杆的挠曲线近似微分方程:
令
，以上两式变形为:
（2）该分析过程是正确的。
由式①可得两方程的通解及其一阶导分别为:
该杆系的边界条件:
光滑连续性条件:
（3）该分析过程是正确的。
将边界及连续性条件代入方程②、③，整理后得:
若使注
有非零解，则必须使④、⑤组成的齐次方程组的系数行列式为零，即: