2016年厦门大学管理科学系809运筹学考研内部复习题及答案
● 摘要
一、计算题
1． 试用最速下降法求函数对计算，求出极 大点，再以出发的寻优过程。 【答案】令（1）为
则求f （x ）的极大点即求F （x ）的极小点。
为初始点，取精度度
=0.1，则
的极大点。先以
为初始点进行
为初始点进行两次迭代，最后比较从上述两个不同初始点
令，则所以
，所以x （1）为极小点，即（2, 0）为f （x ）的极大点。
T
（2） 以为初始点，取精度；两次迭代的结果：
，采用相同的方法进行两次迭代，有：
。
两次的步长：
比较:一般的，二元二次凸函数的等值线是椭圆，椭圆的圆心即为极小值，（l ）中负梯度方向直指圆心，且初值点与圆心在同一水平直线上，所以收敛很快; （2）中的搜索路径呈直角锯齿状，所以收敛较慢。
2． 在某单人理发店顾客到达为泊松流，平均到达间隔为20 min，理发时间服从负指数分布，平均时间为 15 min。求:
（l ）顾客来理发不必等待的概率; （2）理发店内顾客平均数; （3）顾客在理发店内平均逗留时间;
（4）若顾客在店内平均逗留时间超过1.25h ，则店主将考虑增加设备及理发员，问平均到达率提高多少时，店主才做这样的考虑? 【答案】该系统为M/M/1模型，
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二、证明题
3． 设线性规划问题1是
（
）是其对偶问题的最优解。
又设线性规划问题2是
其中k i 是给定的常数，求证【答案】问题1的矩阵表示为
其中
问题2的矩阵表示为
。
设X 1 为它的一个可行解，其对偶问题的最优解为
其中
问题1的对偶问题为
问题2的对偶问题为
=
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。
设X 2 为它的一个可行解，其对偶问题的最优解为Y 2
由此可知，问题1的对偶问题与问题2的对偶问题有相同的约束条件，所以问题1的对偶问题的最优解
一定是问题2的对偶问题的一个可行解。
又因为Y 2是问题2对偶问题的最优解，所以，因为原问题与对偶问题的最优值相等，所以
4． 在M/M/1/N/∞模型中，如
，试证
应为，于是
t
。
时刻的顾客数
N （t ）仍是一生灭过程，且
有
【答案】系统在
当t=+∞时，由系统的稳定状态概率可得
5． 对于M/M/1/∞/∞模型，在先到先服务情况下，试证明:
顾客排队等待时间分布的概率密度是
，并根据该式求等待时间的期望值
为在统计平衡 下顾客的等待时间，则
由a n 的定义，得
，于是有
。
，【答案】令N ’为在统计平衡下一个顾客到达时刻看到系统中已有的顾客数（不包括此顾客）
由定理知，对任何一个输入为最简单流的单服务台或多服务台的等待制排队系统，
恒有
，所以，
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