● 摘要
随机偏微分方程是描述复杂现象的重要工具，其本身的研究显得十分重要。除了线性和一些特殊方程的解具有解析表达式，一般的非线性随机偏微分方程的解并不能通过解析表达式完美无缺地描述出来。 如何刻画一个具体方程的解、如何描述其解的形状特征、如何求出其解等问题都是随机偏微分方程进一步应用和发展的关键。在此情况下，随机偏微分方程，尤其是具有代表性的非线性随机偏微分方程，其数值方法成为随机偏微分方程领域研究的一个热点问题。随机Navier-Stokes方程是流体普遍遵循的随机偏微分方程，是研究非线性随机问题的一个十分有效的模型。 近代数学如概率论和泛函分析也愈来愈深入地渗透进来，为随机Navier-Stokes方程解的存在性、唯一性和正则性等的研究开拓了新方向。 由于随机Navier-Stokes方程的非线性和不可压缩性的相互作用，以及随机项的特殊性，其理论及其应用研究还在发展之中，其数值方法还有很大的研究空间。本文主要针对具有代表性的两类随机Navier-Stokes方程的有限元方法和有限差分法进行研究，构建两类随机Navier-Stokes方程的有限元误差估计和后验误差估计的理论研究框架。针对经典的随机Navier-Stokes方程，在方程解的适定性理论分析的基础上，本文首先利用Crank-Nicolson差分方法在时间变量上进行离散，得到了经典的随机Navier-Stokes方程的半离散问题，并就半离散格式逼近解与精确解的误差进行了估计和证明，得到了适当的收敛阶。随后，利用有限元方法和向后Euler法，本文得到了经典的随机Navier-Stokes方程的有限元全离散问题，并就全离散格式逼近解与精确解的误差进行了估计和证明，得到了适当的收敛阶。在有限元先验误差估计的基础上，本文进一步对有限元全离散问题的后验误差估计进行了全面的分析和证明，构造了适当的后验误差估计因子，构建了经典的随机Navier-Stokes方程的有限元误差估计和后验误差估计的理论分析框架。针对带有随机扰动和自由力的随机Navier-Stokes方程，在方程解的适定性理论分析的基础上，利用有限元方法和向后Euler法，本文得到了带有随机扰动和自由力的随机Navier-Stokes方程的有限元全离散问题，并就全离散格式逼近解与精确解的误差进行了估计和证明，得到了适当的收敛阶。随后，本文研究了带有随机扰动和自由力的随机Navier-Stokes方程的有限元全离散问题的后验误差估计，构造了适当的后验误差估计因子，构建了带有随机扰动和自由力的随机Navier-Stokes方程的有限元误差估计和后验误差估计的理论分析框架。倒向随机微分方程在实际问题中，特别是在金融领域有着重要的应用前景。它的研究历史较短，但进展很迅速。倒向随机微分方程的数值方法是一个新兴的、富有挑战性的研究课题，目前的研究中还有许多问题有待我们去解决。如何刻画一个具体的倒向随机微分方程的解、如何描述其解的形状特征、如何求出其解等问题都是倒向随机微分方程进一步应用和发展的关键。本文针对倒向随机Navier-Stokes方程的数值方法进行了初步的研究。对Navier-Stokes方程的终值问题，本文进行了修正，得到了倒向随机Navier-Stokes方程。随后，本文利用有限差分法对时间变量进行离散，基于条件数学期望对离散格式进行了完整的误差分析和证明，得到了适当的收敛阶，初步构建了倒向随机Navier-Stokes方程的有限差分估计的理论分析框架。