● 摘要
本文研究小波逼近及其应用.讨论小波级数的收敛性,其中包括一维小波级数与
高维小波级数的部分和$f_{m}$对$f$的收敛性及其对其收敛速度的精确估计.本文分为三章,分别对
一维小波,高维小波与Shannon小波的收敛性进行探讨.
第一章研究一维小波逼近,讨论小波级数的收敛性和收敛速度.首先,我们例出几种常见的小波.
其次,我们给出当尺度函数$varphi$满足条件
$$|varphi(x)|leqfrac{C}{(1+|x|)^{1+eta}}, (forall xin R C,eta>0mbox{是常数})$$
时,小波级数的部分和$f_{m}$对$f$的逐点收敛性与一致收敛性以及收敛速度的精确估计.最后,我们
建立当小波函数$psi$满足条件
$${delta^x_k(n)}_{nin mathbb{Z}}:=left{frac{1}{a_{k}}psi_{k,n}(x)
ight}_{nin }in l^{1}(),$$
时小波级数余项的两个估计，其中$sum_{k=1}^{+infty}a_{k}$是收敛的正项级数.
第二章研究高维小波逼近,讨论高维小波级数的收敛性,通过引入拟正$delta$序列的概念,研究
它的性质,建立一个一致逼近序列,并得到该序列的逐点收敛性;继而,我们证明了当尺度函数满足
$$|varphi(x)|leqfrac{C}{(1+|x|)^{1+eta}}, (forall xin R^{d} C,eta>0mbox{是常数})$$
时,相应的再生核序列${q_{m}}_{min }$是一个拟正$delta$序列,从而建立高维小波展开式的
一致收敛定理.这一定理推广了G. G. Walter在文章Pointwise Convergence of Wavelet Expansions
中建立的相应结果.
第三章研究研究Shannon小波逼近,讨论Shannon小波级数的部分和$S_{n}(f,x)$对$f$的收敛性.一般来说,即使是连续函数
$fin L^{2}(R)$的部分和$S_{n}(f,x)$也不一定处处收敛于$f$.但是,如果$f$在某个区间$[a,b]$上
具有全变差, 或者具有有界变差, 或者具有$Lambda-$有界变差, 或者$f$为单调型函数, 那么我们可以
得到相应的收敛性和逼近误差.
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