2017年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之统计学考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 一油漆制造商宣称，他们生产的一种新型乳胶漆的平均干燥时间为120分钟；为检验这一数值是否属实， 从该种乳胶漆中随机抽出20罐做试验，发现它们的干燥时间（分钟）为：123, 109, 115, 121，130, 127, 106, 120, 116, 136, 131, 128, 139, 110, 133, 122, 133, 119, 135, 109；
（1）假定干燥时间近似服从正态分布，在的显著性水平下，检验以上数据是否提供充分证据说明这种乳胶漆的平均干燥时间大于制造商宣称的120分钟，要求给出零假设、备择假设、检验统计量、检验结果。（经 计算可知，样本平均值为分布的上侧分位数为）
置信区间（要求给出枢轴量、置信区间的最后结果） （2）给出平均干燥时间的样本标准差为自由度为19的t （3）简述上述假设检验问题和置信区间问题的主要联系？
【答案】（1）由于干燥时间近似服从正态分布，总体方差未知，且样本量较小，所以采用t 统计量。
建立单侧假设检验：
已知条件为：
因为显著性水平
域，故不能拒绝自由度为19的单侧临界值而样本统计量落在非拒绝 即还不能充分证明这种乳胶漆的平均干燥时间大于制造商宣称的120分钟。
（2）由于总体方差未知，且样本量较小，所以采用t 统计量。已知条件为
：
所以平均干燥时间的置信区间为：
即即平均干燥时间的的置信区间为
（3）假设检验问题和置信区间问题的主要联系如下：
第一，区间估计与假设检验都是根据样本信息对总体参数进行推断，都是以抽样分布为理论依据，都是建立 在概率基础上的推断，推断结果都有一定的可信度或风险；
第二，对同一问题的参数进行推断，二者使用同一样本、同一统计量、同一分布，因而二者可以相互转换。 区间估计问题可以转换成假设检验问题，假设检验问题也可以转换成区间估计问题。区间估计中的置信区间对应 于假设检验中的接受域，置信区间以外的区域对应于假设检验中的拒绝域。
2． 在生产条件稳定的情况下，某一自动机床所加工的零件的尺寸服从正态分布，现假设设计要求零件尺寸的标准差不得超过毫米。为了控制生产过程，工厂定时对产品进行抽样检查，每
） 次抽取5个样品，测定其尺寸的标准差S 。请问，你是否能够利用统计检验制定一个规则，以便在5%的显著性水平下根据S 的值判断机 床的精度是否降低了。（注：
【答案】提出假设：
计算检验统计量可得：
当时，即时，拒绝原假设，说明机床的精度降低了。
3． 某艺术家拍卖会上油圆价格和油画年龄的关系。研宄收集25个样本，数据见表1。以油画价格为因变量，油画年龄为自变量建立一元线性回归模型，结果见表2。
表
1
表
2
就上述结果，试写一份报告，答释油画年龄如何影响油画价格。报告中至少涵盖以下内容： （1）油画年龄如何影响油画价格的线性模型是什么？
（2）前述模型是否合理？
（3）按前述模型，哪些油画被低估了。：Excel 输出的回归结果，如表3、4和5所示。
表3回归结果
表4方差分析表
表5参数估=表
5
【答案】由表5可以得到，线性回归方程为：
回归系数 表示：油画年龄每增加1岁，油画价格平均增加17.3067132 （单位）
表明在油画价格的变差中被油画价格与油画年龄之间的线性关系所答释的
比例为 33.6144869%，回归方程的拟合程度比较差。
估计标准误差表示，当用油画年龄来预测油画价格时，平均的预测误差为298.1784807%，表明预测误差十分大，该一元线性回归模型不太合理。其中第16幅油画价格明显被估低，这是因为在表3中油 画年龄都是71的有两副油画，但是它们的价格明显不同。
由方差分析表可知，
回归系数检验的即回归方程的线性关系显著。表明回归系数显著，即油画年龄是影响油画价格的显著性因素。
4． 通达出租汽车公司为确定合理的管理费用，需要了解出租车司机每天的收入（元）与其行驶时间（小时）和行驶里程（公里）之间的关系，为此随机调查了20个出租车司机，根据有关数据进行回归分析，得到表的数据结果：
表
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