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一、证明题

1． 若d][a, b]，使

是[a, b]上的连续函数列，且

在[c, d]上一致有界.

在任意闭区间

使

有使得

满足

且

由闭区间套定理，无界，则数列

有

其中使

无界. 这与已知条件矛盾.

即数列

的某一个子列

且

有

使且由连续

上都非一致有界，即

数列

都有界. 试证明：存在闭区问[c，

【答案】用反证法. 假设

使

因为函数的保号性，

又因为

如此下去，可得一个闭区间列

在

由连续函数的保号性，

在[a, b]上非一致有界，所以对k=l,

使得

上非一致有界，所以对k=2，

二、解答题

2． 求曲面

【答案】

所以切平面方程为法线方程为

3． 在

上给定

及函数

即

即

在点

处的切平面与法线方程.

证明：无界函数【答案】作的剖分

在上可积.

令

则

为了估计上界，把分成三类：以(0, 1) 为心，以5为半径的圆记作U , 整个落在U 内的作第一类； 不完全落在U 内的整个落在

，要么整个落在正方形

上，归作第三类. 容易看出

令

得

故

归

内，归作第二类；要么

4． 求下列各函数的函数值：

【答案】⑴

(2)

(3)

5． 设

求证递推公式：

【答案】因为

所以

6． 设曲线

由方程组

确定，求曲线在

得

解得

进一步，将方程组

中各方程两边分别求微分，得

将

代入该方程组，得

解得所以

所以切线方程为：

法线方程为：

处的切线方程与法线方程.

【答案】将t=0代入到方程组

7． 如图所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试求截得楔形体的体积。

图

【答案】

椭圆柱面的方程为性质有

解得

于是

故所求体积

设垂直于X 轴的截面面积为则由相似三角形的