2017年中山大学公共卫生学院673数学分析与高等代数之数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
与
中一个是收敛数列，另一个是发散数列.
证明
是收敛数列，是收敛数列，因此，
是发散数列，又问
和
是否必为发散数列？
【答案】用反证法. 不妨设收敛数列，由于是发散数列. 同理可证
在题设条件下
，
与
并且和
是发散数列. 令
假设
是
是收敛数列. 这与题设矛盾，故
时
，
时
，
}也是发散数列.
. 都可能是发散的，也可能是收敛的. 例如，当
时，
与
都是发散的. 而当
’都是收敛的. 当
收敛.
发散，
二、解答题
2． 设
【答案】因为
试求极限
所以
3． 设
【答案】对
是n 个正实数，求
取对数得
所以
4． 求下列函数在指定点的高阶导数：
【答案】⑴
第 2 页，共 36 页
5． 确定下列初等函数的存在域：
⑴（3）【答案】（1）（2）由（3）故为（0, 10].
6． 流体流速
得
故
（2）
（4）
的存在域为R.
的存在域为由
由
得得
故
的存在域
的存在域为
的存在域为[1，100].
y=lgx
的存在域为
（4）
求单位时间内穿过球面
是S 在三个坐标面上的投影面，则有
的流量。
【答案】设S 为所给球面，
其
中分别
是的单位法矢，显然有
^
故从
而
于是所求流量为
7． 求下列各函数的定义域，画出定义域的图形，并说明这是何种点集：
第 3 页，共 36 页
【答案】(1) 函数的定义域为
是无界开点集，如图
1.
图 1 图 2
(2) 函数定义域为(3) 函数的定义域为
是无界开点集，如图2.
是无界闭集，如图
3.
图3 图 4
(4)
函数的定义域为图4。
(5) 由对数定义和函数的定义域为
是无界开点集，如图
5.
是无界闭集，如
图5 图6
(6) 由开方和三角函数的定义知函数的定义域为
是无界闭集，如图6.
(7) 由对数的定义知函数的定义域为
. 是无界开集，如图
7.
图 7 图8
第 4 页，共 36 页