2017年中山大学公共卫生学院673数学分析与高等代数之数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 利用级数收敛的必要条件，证明下列等式：
(1)
【答案】(1) 设
(2)
考察正项级数
的收敛性，因为
所
从而级数
收敛. 由级数收敛的必要条件知
(2) 设
考察正项级数
的收敛性，因为
»
所以
从而级数
收敛. 由级数收敛的必要条件知
二、解答题
2． 求
型的不定式，都非常复杂，但用等价无穷小量替换可使
【答案】该题无论是化成
型还是问题简化. 因为
所以原极限
3． 应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数(应同时指出它们的定义域) ：
【答案】(1)
，因
当，
时，级数收敛，故原级数的收敛半径
又当时，原级数可化为发散，从而得收敛域为
内逐项求导，得
故和函数
(2) 记因为
所以
(3)
因为
所以
所以
因此
4． 确定常数
【答案】
于是
，因为所以收敛区域为
则收敛区域为
使当时
，为x 的3阶无穷小.
欲使为三阶无穷小量，必须有
解之得
（将积分区间十等分）。
5． 分别用梯形法和抛物线法近似计算
【答案】（1）梯形法（取
）
（2）抛物线法（取
）
6． 求由下列曲线所围的平面图形面积：
【答案】⑴令
故
从而
x+y=a变换成(2) 令变换成
即
所以曲面面积为
变换成
从而方程
变换成变换成
所以图形面积
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