2017年哈尔滨工程大学理学院826高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 设函数
由方程
（1） 即令
及
, 故得到函数惟一驻点
确定, 求f （x ）的极值。
【答案】由题意, 在方程两边同时对x 求导一次, 得到
在（l ）式两边同时对x 求导一次, 得
把x=l, y=-2, y’（l ）=0代入, 得
2． 利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性:
【答案】
由于
故
, 故函数
在x=1处取得极小值y=-2。
于是，当p 为奇数时，有
当p 为偶数时，有
因此，对任意给定的正数
取正整数
。当n>N时，对任何正整数p ，都有
根据柯西审敛原理知，级数收敛.
（2）当n 是3的倍数时，如果取p=3n，则必有
于是对不论N 为何正整数，当n>N并n 是3倍的时候，且当p=3n时，就有
根据柯西审敛原理知，级数发散. （3）
由此可知，对任意给定的正数ε，取正整数都有
（4）本题与（2）类同，因不论n 取什么正整数，取p=n时，就有
，当n>N时，对一切正整数p ，
按柯西审敛原理，该级数收敛。
故对
因此该级数发散.
3． 求函数
【答案】
当x=1，y=1，△x=0.15，△y=0.1时，全微分
，当x=1，y=1，△x=0.15，△y=0.1时的全微分.
4． 设一圆锥形贮水池，深15米，口径20cm ，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？
【答案】以高度h 为积分变量，变化范围为[0, 15]，对该区间内任一小区间[h，h+dh]，体积为
，记γ为水的密度，则作功为
5． 设
【
答
案
6． 设
向导数，并分别确定角
【答案】
因为（1）当（2）当（3）当
，所以：
时，方向导数最大，其最大值为时，方向导数最小，其最小值为或
时，方向导数为0。
； ；
，求函数
在点（1，1）沿方向l 的方
】
，使这导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于0.
7． 要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.
【答案】设水池的长为a ，宽为b ，高为c ，则水池的表面积为
约束条件作拉格郎日函数
。
。由