2017年中国科学技术大学研究生院科学岛分院904原子物理与量子力学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 下面关于厄米算符的定义式中. 正确的为（ ）
.
【答案】A
【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为力学量算符的本征值必须为实 数. 厄米算符定义式为
2． 正交归一性表示为_____，如果算符是厄米算符，则它满足_____。 【答案】
3． 下面哪组是泡利矩阵（ ）. A. B. C. D. 【答案】A
【解析】泡利矩阵必须满足以下对易关系为
4． 一维自由电子被限制在x 和
处两个不可穿透壁之间
，
埃，如果
是电子最低能
再由
最终推导出泡利矩阵只能
态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（ ）
I 【答案】C
【解析】
一维无限深方势阱中能级公式为
则可知，较高级能量与基态能量比值为
由题意，基态能量为则第一激发态能量为
5． 考虑个无相互作用的玻色子处在一维无限深势阱中，粒子质量为
势阱范围为
则体系的基态能量是（ ）。
【答案】E
6． 类氢原子问题中，设原子核带正电核为现几率最大的径向坐标位置是（ ）。 A. B. C. D. E. 【答案】B
为原子的波尔半径，对处于基态的电子，其出
二、填空题
7． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换
的整数倍；对称变换
8． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数
【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.
9． （1）自由粒子被限制在x 和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理. 如果没有给出其他资料，则粒子在 x 和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067
（2）上题中，按照量子力学. 处于最低能态的粒子在x 和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033
D.050 【答案】（1）B
【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，
即所求概率为
（2）A
【解析】取x 为原点，则有波函数为所求概率即 10．
表示_____，几率流密度表示为_____。
【答案】几率密度；
11．不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。 【答案】波粒二象性
12．—粒子的波函数为【答案】
写出粒子位于间的几率的表达式_____。
三、证明题
13．处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式：
其中，m 是电子质量，【答案】体系哈密顿量：
其中，显然有
设：
为电子动量算符，算符定义为
且和B 都
为实常数，证明电子角动量算符的分量为该体系的守恒量。