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一、证明题

1． 对于M/M/1/∞/∞模型，在先到先服务情况下，试证明:

顾客排队等待时间分布的概率密度是

，并根据该式求等待时间的期望值

为在统计平衡 下顾客的等待时间，则

由a n 的定义，得

，于是有

。

，【答案】令N ’为在统计平衡下一个顾客到达时刻看到系统中已有的顾客数（不包括此顾客）

由定理知，对任何一个输入为最简单流的单服务台或多服务台的等待制排队系统，

恒有

，所以，

到达者遇到系统中顾客数不少于1个顾客，是需要等待的充要条件，因此

①

因为当系统中有n （n ≥l ）个顾客时，其中只有一个顾客正在接受服务，而其余n-1个顾客在排队等待，所以，新到顾客必须在服务台轮空n 次后，才能接受服务。于是，服务台轮空次数m （t ）t的充要条件，因此

②

其次，因为服务时间服从负指数分布，故其输出流，即服务台轮空次数m （t ）是一最简单流，其参数为

因此

③

将③式代入②式，然后再将②式代入①式，得

，其中，

。

，有

所以，顾客在系统中的等待时间分布为

因为，

以正概率

取0值，而当t>0时，它又具有连续型随机变量的性质，其分布函数必

既不是连续型随机变量，又不是离散型随机变量。然而类似于连的密度函数为

2． 设G=（V ，E ）是一个简单圈，令证明:（l ）若（2）若

，则G 必有圈； ，则G 必有包含至少

条边的圈。

，假设

（称

为G 的最小次）。

在（0，+∞）

上连续。所以续型随机变量，可以定义

（3）设G 是一个连通图，不含奇点。证明:从G 中丢失任一条边后，得到的图仍是连通图。 【答案】（l ）因为G （V ，E ）是一个简单圈，故该图中无环，也无重复边。若G 中无圈，则G 可能是树或非连通图，这两种情况均存在悬挂点，即

相矛盾。故假设不成立， 所以，G 必有圈。

（2）若的次至少为

，设与，也至少与

对应的点为v k ，则v k

必与个端点相连。如果v k 与v i

这

个端点相连。由（l ）的结论知，G

个端点不构成圈，那么在端

条边的圈。

v k 至少与这中必有圈（由于对圈中的连通图而言，点处必向外延伸（因为最小次为另一端点，对该圈而言，边数大于

个端点构成圈）。

， 不与其中某点相连，必与其外某点相连）经连通链而到

条，故G 必定 是包含不少于占

（3）证明:因为G 连通且不含奇点，故d （v ）=2n，且该图中无悬挂点。由题（l ）的结论知，G 必有圈。又因为G 是连通的，所以从G 中去掉任一条边，都必在某一圈中。而从圈中去掉任一条边，所得图仍是连通图。

二、计算题

3． 某工厂的采购情况如表所示. 假设年需求量为10000，每次订货费为2000元，存储费率为20%，则每次应采购若干?

表

【答案】已知R=10000，C 3=2000 ，则

设单价为K （Q ）

假定则假定则

，

，与假定矛盾，舍去。

，

分别计算每次订购1414个和2000个时，平均每单位所需费用:

，即每次采购2000个。

4． 试用0.618法重做习题7.4，并将计算结果与用斐波那契法所得计算结果进行比较。

=0.08，

由【答案】

由可确定试点的个数n=9，计算得最终区间

为

，近似极小点为t=3.05，近似最小值为-6.9975。与用斐波那契法进行比较，

用0.618法求解，试点数n 值大一些， 但求值更接近于精确值。