● 摘要
Quantale 概念是由C.J.Mulvey于1986年在研究非交换$C^{*}-$代数的谱时引入的, 其背景是给量子力学提供新的数学模型. 由于Quantale可以看作是Frame的一般化, 所以Quantale有丰富的序结构, 代数结构和拓扑结构.
这些使得它成为诸多数学家和逻辑学家关注的热点. 基于Quantale和$C^{*}$-代数的基本理论,C.J.Mulvey 和J.W.Pelletier提出了对合Quantale的概念,J.Rosicky 提出了Quantum frame的概念. 本文 研究了对合Quantale中的商对象, 子对象 以及商对合Quantale与同余的关系.
讨论了正则Quantale 的理想以及Quantum frame的若干范畴性质. 其主要内容如下:
第一章 预备知识. 给出了本文将要用到的格论, Quantale 理论及范畴论的基本概念和结论.
第二章 对合Quantale的商对象及子对象.首先 给出了商对合Quantale的具体刻画, 讨论了商对合Quantle与对合核映射的关系及特殊的商对合Quantale与特殊元之间的关系.
其次 给出了对合余核映射的概念,建立了子对合Quantale与对合余核映射之间的对应. 最后讨论了商对合Quantale与同余的关系.
第三章 正则Quantale. 首先给出了正则Quantale中理想的定义, 得到了理想的一些性质及素理想的刻画, 并对正则Quantale中由任意子集生成的理想的具体结构进行了讨论.接着讨论了由正则Quantale的理想决定的同余关系.
最后在Quantale中给出了一些基本概念: 补元、 有补生成Quantale、 紧Quantale等, 得到了正则Quantale的若干新的性质.
第四章 Quantum frame及其范畴性质. 首先给出了 强同态、 子Quantum frame、 商Quantum frame及Quantum frame同余等概念, 证明了Quantum frame
关于同余关系的商集为Quantum frame. 其次 研究了Quantum frame范畴中收缩、 常值态射、 余常值态射、 零态射等特殊态射以及始对象、 终对象等特殊对象,并给出了它们的具体刻画.
最后证明了Quantum frame范畴是点化的、 连通的、有乘积的范畴, 构造出了Quantum frame范畴中的等化子结构及极限结构.