2018年安徽农业大学生命科学学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
2． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
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从而组的基础解系为
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程A
为任意常
数.
3． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】
由题意，设所求的方程组为
由这两个方程组知，所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
4．
设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型
（
Ⅱ）证明[!
【答案】（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，并求行列式
的值.
即或
为矩阵A 的特征值，对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
故所求的方程组可取为
将
代入得
，
构
解得此方程组
贝
因为A
是
实对称矩阵
，所以必可对角化，且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：
1
（
k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
（Ⅱ）因为
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，且
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二、计算题
5． 设3阶对称阵A
的特征值为
求A.
【答案】因A 对称，
必有正交阵依次取为
的单位化向量，即
使
显然
可
对应
的特征向量依次为
与正交，
于是
可取为方程的单位解向量.
由可知
于是
.
6．
设
（1
）证明
是A 的n-1重特征值；
是A 的n-1重特征值. 注意到A 为对称阵，故A 与对
角阵
=1, 从而R 就是A 的全部特征值. 显然R （A ）（A ）=1,
是A 的n-1重特征值.
的对角元之和为
又由特征值性质：A 的n 个特征
为A 的（惟一的）非零特征值.
（2）求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 【答案】首先
证明
相似，
其中
于是只有一个非零对角元，
即
其次，求A 的非零特征值，
因
再求A 的特征向量.
①对应于
解方程.Ax=0.由
值之和为它的n 个对角元之和，
从而由上所证知
得n-1个线性无关的特征向量为：
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