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一、解答题

1．

设

当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.

【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B

可变形为

即得到线性方程组

若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，

故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时

，

所以方程组的通解为

也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为

其中

2． 设二次

型

（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ

）求

为任意常数.

矩阵A 满足AB=0, 其

中

为标准形，并写出所用正交变换；

【答案】

（Ⅰ）由知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.

记

值（至少是二重）

，

根据

值是0, 0, 6.

设

有

对

正交化，

令的特征向量为

有

则是

的线性无关的特征向量.

由此可知

，是矩阵A 的特征

故知矩阵A

有特征值因此，矩阵A 的特征

那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，

则

解出

再对，单位化，得

那么经坐标变换

即

二次型化为标准形（Ⅱ）因为

又

有

所以由

进而

得

于是

3． 设线性方程

m

【答案】

对线性方程组的增广矩阵

试就

讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.

作初等行变换，如下

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（

1

）当

即

且

时

则方程组有惟一答

:

（2）

当

且

即

且

时

则方程组有无穷多可得其一个特解

解.

此时原方程组与同解，解得其基础解系为

为任意常数. 此时方程组无解. 时

故原方程组的通解为

（3）当（4

）当

4．

已知矩阵可逆矩阵P ，使

和

若不相似则说明理由。

即

时

此时方程组无解.

试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出

【答案】由矩阵A 的特征多项式

得到矩阵A 的特征值是当

时，由秩

知

有2个线性无关的解，即

时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵

A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。

二、计算题