2018年安徽农业大学农学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解.
对
得到
所以矩阵
的基础解系为
则既可由
对
作初等行变换，有
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
2． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
其中t 为任意常数.
线性表出，也可
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
线性表出，
故可设
于是
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
3．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
即
时
此时方程组无解.
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
故f
在正交变换下的标准形为
4． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
矩阵
逆
其中E 是n 阶单位矩阵.
且A 可对角化，
求行列式
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
使或1.
二、计算题
5．
设
线性无关
，
线性相关, 求向量B 用
线性表示的表示式.
使
【答案】
方法一、因
线性相关，
故存在不全为零的常数
，不然，由上式得
，这与
不全为零矛盾. 于是得
方法二、
因关.
又因
线性无关，
故
线性相关，故
，于是存在使
6． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求
【答案】
由特征值性质得
知A 可逆，并且
因线性无关，
故
线性相关，即线性相
因为当为