2018年北京科技大学数理学院876量子力学考研基础五套测试题
● 摘要
一、简答题
1． 现有三种能级【答案】
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
对应
对应中心库仑势系统，例如氢原子；
一维谐振子．
2． 什么样的状态是定态，其性质是什么？
【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变
二、计算题
3． 两个互作用可以忽略的电子在一维线性谐振子势场中运动，写出系统基态和第一激发态的总波函数。
【答案】单电子波函数的空间部分：
二电子总波函数应为反对称： 基态：第一激发态：
4． 设已知在，值为
的共同表象中，算符
的矩阵分别为
试在取
的本征态下求的可能取值和相应的概率及的平均值.
设
的本征态矢为
则由
【答案】可能取得的值有可以解得
同理由
为
5． 给定
可以解得
概率为
方向的单位矢量：
时态矢为
平均值为
概率为
态矢
而为Pauli 矩阵算符，定义算符（1）计算在（2）设在
为
【答案】（1）
表象中：
设
本征值为
本征函数为
则:
解得：当
时，
并利用归一化条件可以取
表象中的本征态：
计算在该态上测量
所得的可能测量值及相应几率。
的本征值和本征函数。
当（2）设
时，并利用归一化条件，可以取
已知
因此测量
可能的测量值为
其中结果为1的
概率为：
结果为-1的概率为：
三、综合分析题
6． 如图所示，设电子以给定的能量
（1）求反射系数和透射系数。 （2）给出发生共振隧穿的条件。
（3）考虑到电子有自旋（自旋向下或向上），你能否借用上面的结果，设计一个量子调控装置，使反射回来 的只有自旋向上的电子而没有自旋向下的电子？
图
【答案】（1）设能量为五的粒子从左侧入射，则由薛定锷方程：
解得：
自左入射，
遇到一个方势阱
其中，
考虑波函数及其导数在
和
时的连续性，可以解出：
因此透射系数：
反射系数：
因此共振能量为
为
（2）当t=1时，出现共振透射，此时所有使
的正整数。
（3）外加均匀磁场B ，则入射自旋向下电子能量为
当此能量为共振透射能量时，