福建师范大学2007实变函数与复变函数考研试卷及答案考研试题研究生入学考试试题考研真题
● 摘要
《实变函数与复变函数》试题（各一题）
一、设f (x ) 为可测集E 上的Lebesgue 可积函数，且mE <+∞，{E n }为E 中的单调递增的可测集合列，且U E n =E ，求证
n =1∞
lim ∫f (x ) dm =∫f (x ) dm .
n →∞E n
E
证明 因为f (x ) 在E 上L 可积，所以对任意ε>0，存在δ
e ⊂E ，且me <δ
>0，当
时，有∫e f (x ) dm <ε.
由测度的下连续性知，lim mE n =mE <+∞，故对上述δ，存在自然n →∞数N，当n >N 时，有mE −mE n =m (E −E n ) <δ，从而
∫
E
f (x ) dm −∫f (x ) dm <ε
E n
，故lim
n →∞∫E
n
f (x ) dm =∫f (x ) dm .
E
二、设复变函数f (z ) 在z 证f ′(≤8.
12
≤1上解析，且在z =1上有f (z ) −z 1⎛1⎞ 证明 由柯西积分公式得 f ′⎜=⎟ ⎝2⎠ 2πi ∫ f (z ) z =1 1⎞⎛ −z ⎜⎟2⎠⎝ 2 已知z 2 =1时，有f (z ) −z ≤f (z ) −z 2 ，从而f (z ) <2，而且 1⎞1⎞1⎛⎛ z −≥z −⎜⎟⎜⎟=， 224⎝⎠⎝⎠⎞故f ′⎛⎜⎟≤ ⎝2⎠2π 1 1 ∫ f (z ) z =1 1⎞⎛z −⎜⎟2⎠⎝ 2 dz ≤ 1 2π 2 ∫z =1dz =8 4