福建师范大学2007实变函数考研复试试卷及答案考研试题研究生入学考试试题考研真题
● 摘要
福建师范大学实变函数复试题及答案
1. 设(X , Α, μ) 为测度空间，请叙述f (x ) 为可测函数的定义. 并问：若f 2(x ) 或f (x ) 可测，那么f (x ) 是否可测？请证明或举例说明你的结论. 答：设f (x ) 是X 上的广义实函数，若对任意α∈R ，集X (f >α) 恒可测，则称f 为X 上的可测函数.
从函数f 2(x ) 或f (x ) 可测不能保证f (x ) 也可测.
⎧1, x ∈E 11]中的不可测子集，令f (x ) =⎨，E 1为[0，例如：设X =[0,1]，−∈1, [0,1]\x E ⎩1
则X (f >0) =E 1为不可测集，从而f (x ) 在[0，1]上不可测，但f 2(x ) =f (x ) =1为[0，1]上可测函数.
2. 请说明Riemann 可积与Lebesgue 可积的关系. 答：f (x ) 常义Riemann 可积⇒f (x ) Lebesgue 可积，且两种积分值相等. f (x ) 广义Riemann 可积⇔f (x ) Lebesgue 可积⇔f (x ) Lebesgue 可积. 但f (x ) Lebesgue可积不能保证f (x ) 常义Riemann 可积. 例如：令f (x ) =⎨⎧1, x ∈Q I [0,1]，则f (x ) 在[0，1]上Lebesgue 可积，⎩0, x ∈[0,1]\Q I [0,1]
但f (x ) 在[0，1]上不是Riemann 可积.