2018年华东理工大学药学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
2．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
故所求的方程组可取为
解得此方程组
将
代入得，
构
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
3． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
且秩
的值.
即或
贝
因为A 是
是正定矩阵，
并求行列式
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
4．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
，由于
所以
为矩阵对应特征值
的特征向量；
所以
为矩阵对应特征值
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
所以
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
二、计算题
5． 求解下列方程：
（1
）（2
）其中a , b ，c 互不相等，
【答案】（1）左式
于是方程的解为
：
=0.因a , b , c 互不相等，故方程的解为
： 6．
设
【答案】
由因
它的行列式
左乘上式两边得
AB=A+2B, 求B.
故它是可逆阵. 用
（2）注意到方程左式为4阶范德蒙德行列式，则可得（x-a ）（x-b ）（x-c ）（a-b ）（a-c ）